[BZOJ2750][HAOI2012]Road（SPFA+拓扑排序）

首先介绍一个原则：i→j的最短路径的任意一条子路径u→v都是最短路径。
证明：假设存在一条子路径u→v不是最短路径，那么一定能够找到一条更短的u→v的路径使i→j的路径更短。
根据这个原则，可以得出，在固定源点S时，存在G的一个子图G′，使得G′的每一条边都在S到其他至少一个点的最短路径上，且G′以外的边不在S到任意一个点的最短路径上。这里把G′称为源点为S时G的最短路图。判断一条边u→v是否在最短路图中，只需判断是否dis[u]+val(u→v)==dis[v]。其中val(u→v)为边u→v的长度。
再介绍一个原则：对于任意边权为正数的图G和任意源点S，最短路图G′上不存在环。
证明：设存在环u1→u2→...→ut→u1，则有dis[u2]=dis[u1]+val(u1→u2)，dis[u3]=dis[u2]+val(u2→u3)，…，dis[ut]=dis[ut−1]+val(ut−1→ut)，dis[u1]=dis[ut]+val(ut→u1)。由于边权均为正数，所以从上面可以同时得出dis[ut]>dis[u1]和dis[ut]<dis[u1]。从这个矛盾得出不存在环。

回到问题。首先枚举最短路的起点S，跑SPFA后构造出最短路图。
由于不存在环，所以这里进行拓扑排序。
先按照拓扑序，求出任意一个点u，S到u的最短路径的数目cnt1[u]。很显然，cnt1[S]=1，如果最短路图上存在边u→v，则cnt1[v]+=cnt1[u]。
再按照拓扑序的逆序，求出任意一个点u，在最短路图上以u为起点的路径条数cnt2[u]。容易得到，如果先把每个点的cnt2设为1（路径中只包含u），那么如果最短路图上存在边u→v，则cnt2[u]+=cnt2[v]。

统计贡献。对于在最短路图上的一条边u→v，贡献为cnt1[u]∗cnt2[v]。

代码：

#include <cmath>#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;inline int read() {    int res = 0; bool bo = 0; char c;    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);    return bo ? ~res + 1 : res;}const int N = 1505, M = 5005, INF = 0x3f3f3f3f, PYZ = 1e9 + 7;int n, m, ecnt, nxt[M], adj[N], st[M], go[M], val[M], dis[M], len, que[M << 1],cnt[N], cnt1[N], cnt2[N], H, T, tot, q[N], ans[M];bool vis[N], ins[M];void add_edge(int u, int v, int w) {    nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; st[ecnt] = u; go[ecnt] = v; val[ecnt] = w;}void spfa(int S) {    int i; memset(dis, INF, sizeof(dis));    memset(ins, 0, sizeof(ins));    dis[que[len = 1] = S] = 0;    for (i = 1; i <= len; i++) {        int u = que[i]; vis[u] = 0;        for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e])            if (dis[u] + val[e] < dis[v = go[e]]) {                dis[v] = dis[u] + val[e];                if (!vis[v]) vis[que[++len] = v] = 1;            }    }    for (i = 1; i <= m; i++)        if (dis[st[i]] + val[i] == dis[go[i]])            ins[i] = 1;}void topo(int S) {    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));    memset(cnt1, 0, sizeof(cnt1));    memset(cnt2, 0, sizeof(cnt2));    int i; H = tot = 0; cnt1[que[T = 1] = S] = 1;    for (i = 1; i <= m; i++) if (ins[i]) cnt[go[i]]++;    while (H < T) {        int u = que[++H]; q[++tot] = u;        for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) {            if (!ins[e]) continue;            v = go[e]; if (!(--cnt[v])) que[++T] = v;            (cnt1[v] += cnt1[u]) %= PYZ;        }    }    for (i = tot; i; i--) {        int u = q[i]; cnt2[u]++;        for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) {            if (!ins[e]) continue;            (cnt2[u] += cnt2[v = go[e]]) %= PYZ;        }    }}void solve(int S) {    int i; spfa(S); topo(S);    for (i = 1; i <= m; i++) if (ins[i])        (ans[i] += 1ll * cnt1[st[i]] * cnt2[go[i]] % PYZ) %= PYZ;}int main() {    int i, x, y, z; n = read(); m = read();    for (i = 1; i <= m; i++) x = read(), y = read(),        z = read(), add_edge(x, y, z);    for (i = 1; i <= n; i++) solve(i);    for (i = 1; i <= m; i++) printf("%d\n", ans[i]);    return 0;}