Longest Palindromic Substring解题心得

原题描述：https://leetcode.com/problems/longest-palindromic-substring/description/

第一种思路

以每个字母为中心向两端进行匹配

对于最长回文子串问题，我想到的第一种解题思路就是顺序遍历字符串s，以回文子串的中心为目标匹配搜索回文子串

设置中心下标i，设定left，right哨兵，以当前s[i]为中心进行向两端的字母匹配，同时每次比较并记录最大回文子串半径maxR（即子串长度的一半），以及子串的左右位置left，right

• 坑点：仔细思考下，这样的思路缺少了对偶数长度回文子串的搜索，所以可以进行如下改进
  
  1. 使i遍历s.size()*2次，每当i遍历到偶数则，以s[i/2]为中心进行回文匹配；当i为奇数时，则设定left=i/2，right=(i+1)/2，从而双向扩张搜索匹配的回文
  2. 为s间隔插入特殊字符，如插入’$‘ 或者‘ ’，匹配得到的最大半径不是实际最长回文子串的半径，而是中间含有特殊字符的字符串，需要另外过滤得到真实值
     
     

复杂度分析

• 时间复杂度
  
  • 纠正后的算法，设定k为最长子串的半径，n为字符串长度，则时间复杂度为O(nk)，最差情况下为O(n2)
• 空间复杂度
  
  • 由于算法只是对字符串进行遍历，对于第一种纠正方法，需要n的空间，第二种则需要2n的空间，于是我们可以得出空间复杂度为O(n)

第二种思路

利用回文的性质减少重复性搜索

分析发现回文拥有一种特质，即左右的对称性

所以我们以第一种算法的思路为基础进行改良，当我们以i为中心向两边搜索时，已知左边的字母的回文半径，在左边位置left下，回文半径为R[left]，

右边字母由于对称性可以知道，只要以left为中心的回文在以flag为中心的回文范围内，即left-(flag-R[flag])>R[left] 或者 (flag+R[flag])-right>R[right]则可以断定R[right]=R[left]（注：具体实现需要根据R[flag]的定义形式，判断临界值情况）

if (R[j]>=right-i){    flag=i;    right++;    left=2*i-right;    break; } else {    R[i]=R[j]; }

这样子，当当前flag位置的R[flag]求到后，再对flag为中心的回文子串S[flag]进行检查，同时更新回文右边的R[i]，当出现半径长度超过以flag为中心字符串的范围时，更新flag到当前位置flag=right;，进入下一层循环，则flag到right之间的循环可以省略

• 坑点：千万不要忘记！！！flag更新后，更新right和left时不要直接让right=flag一样的位置；而应该当R[j]超出范围，则right只向右移动一位，同时更新left，保持对称性，这样可以节省很多不必要的重复搜索

代码实现如下：

复杂度分析

对于这种算法的时间复杂度分析，本人不才，想法不是特别清晰，意识里猜测是O(n)的时间，具体证明方法未想到