算法与数据结构-贪心算法及背包问题解决

序言

五大常用算法包括：回溯法 + 贪心算法 + 动态规划 + 分治法 + 分支限界法

之前已经介绍过回溯法及其在八皇后问题的应用。本文介绍贪心算法及其常见应用场景。

贪心算法

• 贪心算法的基本原理

问题求解时，不是从全局最优解来考虑，而是通过求解局部最优解来产生全局最优解或全局最优解的近似解。概念要点：    1. 局部最优解    2. 无后效性，即不可回溯

• 贪心算法的特性：所求解的问题一般具有两个特性

  • [1] 贪心选择性质：整体最优可以通过一系列局部最优的选择来达到。

    • 贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。

  • [2] 最优子结构性质：一个问题的最优解已经包含了其子问题的最优解。

    • 因此可以依次解决其子问题得到原问题的解

• 贪心算法的基本思路

  • 建立数学模型
  • 问题分成若干子问题
  • 子问题求解得到子问题的局部最优解（以贪心选择开始）
  • 子问题局部最优合成原问题的一个解

• 贪心算法使用的要点

  • 问题是否可用贪心算法求解：经验判断，适当证明

    • 贪心算法适用范围窄，很多时候需要根据经验决定是否选择贪心算法
    • 通过数学归纳法进行证明，利用贪心选择性质和最优子结构性质
  • 贪心标准的选择
    
    • 很重要，标准选择不好很可能导致解题失败
    • 在选择贪心标准时，我们要对所选的贪心标准进行验证才能使用，不要被表面上看似正确的贪心标准所迷惑

• 与动态规划问题的区别

  • 相似：均通过递推实现，均具有最优子结构性质，均无后效性
  • 区别：
    
    • 贪心算法每一步的最优解一定包含上一步最优解。上一步最优解不做保留
    • 动态规划全局最优一定包含某个局部最优，但不一定包含前一个局部最优。需要记录之前所有最优解

• 贪心算法常见应用场景

  • 1. 公共资源争用的活动安排
       
       • 教室不同时间段活动安排
  • 1. 背包问题
       
       • 不是”0-1背包问题“
  • 1. 最优装载问题
       
       • 与背包问题类似
  • 1. 钱币找零问题
       
       • 最少纸币张数支付K元

贪心算法应用举例

以背包问题为例简单举例

• 问题描述

  背包问题：有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。

  物品 A B C D E F G
  重量 35 30 60 50 40 10 25
  价值 10 40 30 50 35 40 30

• 贪心标准

  • [1] 先把价值高的装进去：这样重量消耗太快，不利于总体价值的增长
  • [2] 先把重量小的装进去：这样能保证重量有效增长，但价值不能有效增长
  • [3] 先把价值重量比最大的装进去：按物品权重排序，实现重量和总价值的有效增长

• 代码（C）

#include <stdio.h>#define true 1#define false 0typedef struct pack_node{    int weight;    int value;    float value2weight;     //价值重量比    char flag;}packNode;int main(){    int Weight[7] = {35, 30, 60, 50, 40, 15, 20};    int Value[7] = {10, 40, 30, 50, 35, 40, 30};    packNode back_pack[7];    int i = 0;    for (; i < 7; i++)    {        back_pack[i].weight = Weight[i];        back_pack[i].value = Value[i];        back_pack[i].flag = false;        back_pack[i].value2weight = (float)((float)(Value[i]) / (float)Weight[i]);    }    int allWeight = 0;    int allValue = 0;    float max = 0.0;        //value / weight最大比值    char markArr[7] = {0};    int j, eleFlag;    float portion;    while (allWeight < 150)    {        j = 0;        max = back_pack[j].value2weight;        while (j < 7)        {            if (back_pack[j].value2weight > max && back_pack[j].flag == false)            {                max = back_pack[j].value2weight;                eleFlag = j;            }            j++;        }        back_pack[eleFlag].flag = true;        allWeight += back_pack[eleFlag].weight;        allValue += back_pack[eleFlag].value;        markArr[eleFlag] = 1;        if (allWeight > 150)        {            portion = (back_pack[eleFlag].weight - (allWeight - 150)) / (float)back_pack[eleFlag].weight;            printf("第%d个物品选取：%.1f\n", eleFlag + 1, portion);        }    }    int k = 0;    printf("取出物品标号如下：");    for (; k < 7; k++)        printf("%d%c",markArr[k], k == 6 ? '\n' : ' ');    return 0;}

Acknowledgements:
http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8709005
http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8711928
http://blog.csdn.net/qfikh/article/details/51959226
http://blog.csdn.net/qq_23100787/article/details/50490658

2017.09.14