POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT 二进制高斯消元 （开关翻转问题）

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题意:

有一个开关灯游戏，游戏界面是一个5行6列的灯阵，每个灯旁边有一个按钮，按下这个按钮会使得该位置的灯以及上下左右的灯改变状态(亮变成暗，暗变成亮)。 让你输出一个方案，最终使得所有灯灭掉。

思路:

每一个灯都只有01两种状态,而且每一个灯翻转两次相当于没翻转.这个题确实暴力枚举可以过.但是今天我们考虑高斯消元.

我们从反面来考虑,最后满足条件的一定是所有灯的状态全为0. 我们看看需要进行什么操作能达到灯的初始状态.这和从初始状态到全灭是等价的.

考虑建立一个30*31的增广矩阵,每一个mp[i][i]对应一个线性方程,一共存在30个方程.x[i]为每一个开关的操作次数,也是我们高斯消元的解.(这里要注意增广矩阵的最后一列的值为该灯的操作次数!!!!因为操作偶数无影响,这里考虑的是取模的那些,不过二进制没有影响)

因为是二进制,%2，可以考虑异或操作.

那么有 a[0][0]^x[0]^a[0][1]^x[1].......=mp[0][0]

    a[1][0]^x[0]^a[1][1]^x[1].....=mp[0][1]...

理解下来就是,在每一个线性方程中的x[]，都表示拨动该x灯对这一行所对应的那个灯的影响.

a[][] 为矩阵的系数,即该灯的上下左右对该灯有影响的赋值为1,否则系数为0.

对于二进制的高斯消元有两种写法,一种是把原本的运算全部换成异或,一种是采用%2运算,都可以。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;int a[300][300];  // 增广矩阵int x[300];  // 解int free_x[300]; // 标记是否为自由未知量int n, m;void debug(){    for(int i=0;i<n*n;i++)    {        for(int j=0;j<n*n;j++)            printf("%d ", a[i][j]);        printf("\n");    }}void Gauss(int n, int m) // n个方程 m个未知数 即 n行m+1列{    //转换为阶梯形式    int col=0, k, num=0;    for(k=0;k<n && col<m;k++, col++)    {//枚举行        int max_r=k;        for(int i=k+1;i<n;i++)//找到第col列元素绝对值最大的那行与第k行交换            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))                max_r=i;        if(max_r!=k)// 与第k行交换            for(int j=col;j<m+1;j++)                swap(a[k][j], a[max_r][j]);        if(!a[k][col])// 说明该col列第k行以下全是0了        {            k--;            free_x[num++]=col;            continue;        }        for(int i=k+1;i<n;i++)// 枚举要删除的行            if(a[i][col])                for(int j=col;j<m+1;j++)                    a[i][j]^=a[k][j];    }    //  唯一解 回代    for(int i=m-1;i>=0;i--)    {        x[i]=a[i][m];        for(int j=i+1;j<m;j++)            x[i]^=(a[i][j] && x[j]);    }}void init(){    n=5, m=6;    memset(a, 0, sizeof(a));    memset(x, 0, sizeof(x));    for(int i=0;i<n;i++)        for(int j=0;j<m;j++)        {            int t=i*m+j;            a[t][t]=1;            if(i>0)                a[(i-1)*m+j][t]=1;            if(i<n-1)                a[(i+1)*m+j][t]=1;            if(j>0)                a[i*m+j-1][t]=1;            if(j<m-1)                a[i*m+j+1][t]=1;        }}int main(){    int t, ca=1;    scanf("%d", &t);    while(t--)    {        init();        for(int i=0;i<n*m;i++)            scanf("%d", &a[i][n*m]);        printf("PUZZLE #%d\n", ca++);        Gauss(n*m, n*m);        for(int i=0;i<n;i++)            for(int j=0;j<m;j++)            {                printf("%d", x[i*m+j]);                if(j==5)                    printf("\n");                else                    printf(" ");            }    }    return 0;}

普通写法:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;  #define maxn 111  #define eps 1e-9    int a[maxn][maxn], x[maxn];  int w, h, d;  int mp[11][11],cnt;  int equ, var; int n,m; bool free_x[maxn];//标记是否是不确定的变元  inline int lcm(int a,int b){    return a/__gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出}// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.int Gauss () {    int max_r, col, k; //最大的数在的行 当前处理的列    cnt = 0; //自由元个数    for (k = 0, col = 0; k < n*m && col < n*m; k++, col++) {        max_r = k;        for (int i = k+1; i < n*m; i++) { //找到最大的数所在的行            if (abs (a[i][col]) > abs (a[max_r][col]))                max_r = i;        }        if (max_r != k) { //交换最大的数所在的行和当前行            for (int i = 0; i <= n*m; i++)                swap (a[k][i], a[max_r][i]);        }        if (a[k][col] == 0) { //判断自由元 处理当前行的下一列            k--;            free_x[cnt++] = col;            continue;        }        for (int i = k+1; i < n*m; i++) {            if (a[i][col]) {                int lcm = a[i][col] / __gcd(a[i][col], a[k][col]) * a[k][col];                int t1 = lcm / a[i][col];                int t2 = lcm / a[k][col];                for(int j = col; j <= n*m; j++) {                    a[i][j] = ((a[i][j] * t1 - a[k][j] * t2) % 2 + 2) % 2;                }            }        }    }    for (int i = k; i < n*n; i++) { //判断无解情况        if (a[i][col])            return -1;    }    for (int i = n*m-1; i >= 0; i--) { //回代        x[i] = a[i][n*m] %2;        for (int j = i+1; j < n*m; j++)            x[i] = ((x[i]-x[j]*a[i][j]) % 2 + 2) % 2;        x[i] = x[i]*a[i][i] % 2;    }    return 0;}    void init(){    memset(a, 0, sizeof(a));    for(int i = 0; i < 5; i++)    {        for(int j = 0; j < 6; j++)        {            int pos = i*6+j;            a[pos][pos] = 1;            if(i > 0) a[pos][(i-1)*6+j] = 1;            if(i < 4) a[pos][(i+1)*6+j] = 1;            if(j > 0) a[pos][i*6+j-1] = 1;            if(j < 5) a[pos][i*6+j+1] = 1;        }    }}int main() {   // freopen("in.txt", "r", stdin);    int T;    scanf("%d", &T);    int cast = 0;    while(T--)    {        cast++;        init();        n=5,m=6;        for(int i = 0; i < 5; i++)        {            for(int j = 0; j < 6; j++)            {            int t;                scanf("%d", &t);a[i*6+j][30] = (2-t)%2;            }        }        Gauss();        printf("PUZZLE #%d\n", cast);        for(int i = 0; i < 5; i++)        {            for(int j = 0; j < 6; j++)            {                if(j == 0) printf("%d", x[i*6+j]);                else printf(" %d", x[i*6+j]);            }            printf("\n");        }    }    return 0;}