UVa 3n+1 问题

Background
背景

Problems in Computer Science are often classified as belonging to a certain class of problems (e.g., NP, Unsolvable, Recursive). In this problem you will be analyzing a property of an algorithm whose classification is not known for all possible inputs.
计算机科学中的问题常常用确定性来进行分类，（比如NP，无解，递归）。在这个问题中，你需要分析一个算法的性质，这个算法的分类对于全部可能的输入而言是未知的。

 

The Problem
问题

Consider the following algorithm:
考虑下面的算法：

1

2

3

4

5

6

input n

print n

if n = 1 then stop

    ifn is odd then n <- 3n + 1

    elsen <- n / 2

goto 2

Given the input 22, the following sequence of numbers will be printed 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1.
给定输入22，接下来会打印出的的数列是：22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1。

It is conjectured that the algorithm above will terminate (when a 1 is printed) for any integral input value. Despite the simplicity of the algorithm, it is unknown whether this conjecture is true. It has been verified, however, for all integers n such that 0 < n < 1,000,000 (and, in fact, for many more numbers than this.)
猜想输入任何整输算法都会最终停止（到打印出1为止）。尽管算法很简单，但这个猜想是否正确仍不得而知。然而经过验证，算法对于0 < n < 1,000,000的所有整除n都成立（事实上还验证过更多的数）。

Given an input n, it is possible to determine the number of numbers printed (including the 1). For a given n this is called the cycle-length of n. In the example above, the cycle length of 22 is 16.
对于给定的一个输入n，算法能够打印出数字（包括1）的数量是可以确定的。对于给定的n，这个数量称作n的“周期长度”。在上面的例子中，22的周期长度为16。

For any two numbers i and j you are to determine the maximum cycle length over all numbers between i and j.
给定任意的两个数i和j，你要确定在[i, j]的范围内的所有数中，最长的周期长度是多少。

 

The Input
输入

The input will consist of a series of pairs of integers i and j, one pair of integers per line. All integers will be less than 1,000,000 and greater than 0.
输入一系列的整数对i和j，每一对整除独占一行。所有整除都小于1,000,000且大于0。

You should process all pairs of integers and for each pair determine the maximum cycle length over all integers between and including i and j.
你要处理所有的整除对，并确定每对整除所限定范围内（含）的所有整数的最大周期长度。

You can assume that no operation overflows a 32-bit integer.
你可以假设不计算中不会出现32位整数的溢出错误。

 

The Output
输入

For each pair of input integers i and j you should output i, j, and the maximum cycle length for integers between and including i and j. These three numbers should be separated by at least one space with all three numbers on one line and with one line of output for each line of input. The integers i and j must appear in the output in the same order in which they appeared in the input and should be followed by the maximum cycle length (on the same line).
对输入的每一对i和j应该输出i、j和[i, j]范围内的最大周期长度。这3个数字之间各由至少1个空格隔开，并在每一行输入之后，将这3个输全部输出在下一行内。输出整数i和j时必须按照他们在输入时的顺序输入，后面跟着输出最大周期长度（在同一行）。

 

Sample Input
输入示例

1 10
100 200
201 210
900 1000

 

Sample Output
输出示例

1 10 20
100 200 125
201 210 89
900 1000 174

 

Analysis
分析

非常简单的起点题，算法题目中已经给出。注意测试数据中的i, j可能大小顺序相反，但输出时还要按原顺序输出，因此应另设变量存储原先的值，不可将原值丢失。

1. 问题描述

简单描述 : 就是对一个整数 ( 大于等于 1), 不断按照这样的规律进行运算 , 即如果当前数是偶数 , 则下一个数为当前数除以 2, 如果当前数为奇数 , 则下一个数为当前数乘 3 加 1, 整个过程直到计算到 1 为止 . 那么形成的数列的长度称为 cycle-length.

问题的输入是 : 给定一个区间 [a,b]

问题的输出为 : 输出给定区间 ( 含端点 ) 所以数的 cycle-length 的最大的 cycle-length.

详细描述可参见 这里 .

2.       问题分析

2.1    直观分析

最直观的方法当然是采用蛮力法 ( 即 brute-force), 将给定区间的每个数求出其 cycle-length, 然后在所 以的 cycle-length 中找出最大的即可 .

2.2    优化

优化是建立在分析的基础之上 .

我们先对一个简单例子进行实验 .

例如给定区间为 B[1,10], 即 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

通过简单分析我们可以知道 , 通常较大的数具有较大的 cycle-length, 所以我们可以首先取 A=9( 为什么不取 10, 是因为 9 在一次处理后可变为 28, 大于 10) 按照给定的规律来进行如下 :

9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

可以看出 , 上面红色标记的部分 , 处于给定的区间内 , 而且它们的 cycle-length 显然是小于当前的数 9 的 cycle-length, 所以这些数可以从给定的区间内剔除掉 , 记住当前的 cycle-length, 于是

经过一次的操作后 , 给定的区间变为 3,6

继续按照这个方法进行 , 直至这个区间为空 , 停止 , 其中最大的 cycle-length 即为所求 .

2.3    得出算法

算法的描述同 2.2 处优化部分的分析 , 具体的算法描述可见 3.

3.       算法描述

算法伪代码 ( 类 C) 描述如下 :

function getMCL

B[left, right];  // 为给定的区间

mcl = 0;               //mcl 指 max-cycle-length

while !B.empty()

{

A = getCandidate(B);// 这个函数是用来找出 B 区间内当前最适合处理的元素 ,

// 一般是最大的奇数 , 即预计可能具有较大 cycle-length 的元素

                     ccl = 1;          //ccl 是指 current-cycle-length

                     while (A!=1)

              {

                     ccl++;

                     A = (A%2)?(3*A+1):(A/2);

                     if find(B,A)           // 这个函数是用来判断 B 区间内是否存在中间结果 A

                            pop(B,A);       // 有则剔除

              }

              mcl = (mcl<ccl)?ccl:mcl;

       }

       return mcl;

 

4.       具体实现
Cpp代码

   1. #include "iostream"  
   2. using namespace std;  
   3.   
   4. int getCandidate(int B[], int base, int n)  
   5. {  
   6.     int i;  
   7.     for (i = n-1; i>=0; i--)  
   8.     {  
   9.         if (((base+i) % 2)&&(B[i]==0))  
  10.             return i;  
  11.     }  
  12.     for (i = n-1; i>=0; i--)  
  13.     {  
  14.         if (!B[i])  
  15.             return i;  
  16.     }  
  17.     return -1;  
  18. }  
  19. int nadd2(int left, int right)  
  20. {  
  21.     int Blength = right - left + 1;  
  22.     int length = Blength;  
  23.     int *B = new int[length];  
  24.     for (int i=0; i<length; i++)  
  25.         B[i] = 0;  
  26.     int mcl = 0;  
  27.     while (length > 0)  
  28.     {  
  29.         int ccl = 1;  
  30.         int pos = getCandidate(B, left, Blength);  
  31.         if (pos==-1)  
  32.             break;  
  33.         B[pos] = 1;  
  34.         length--;  
  35.         int A = pos+left;  
  36.         while (A!=1)  
  37.         {  
  38.             ccl ++;  
  39.             A = (A%2)?(3*A+1):(A/2);  
  40.             int Apos;  
  41.             if ((A-left>Blength)||(B[A-left])||(A<left))  
  42.                 Apos = -1;  
  43.             else  
  44.                 Apos = A-left;  
  45.                   
  46.             //B[Apos] = 1;  
  47.             if (Apos!=-1)  
  48.             {  
  49.                 B[Apos] = 1;  
  50.                 length --;  
  51.             }  
  52.         }  
  53.         mcl = (mcl<ccl)?ccl:mcl;  
  54.     }  
  55.     delete[] B;  
  56.     return mcl;  
  57. }  
  58. int main()  
  59. {  
  60.     int left, right;  
  61.     while(cin>>left>>right)  
  62.         cout<<left<<" "<<right<<" "<<nadd2(left,right)<<endl;  
  63.     return 0;  
  64. }  

#include "iostream"
using namespace std;

int getCandidate(int B[], int base, int n)
{
    int i;
    for (i = n-1; i>=0; i--)
    {
        if (((base+i) % 2)&&(B[i]==0))
            return i;
    }
    for (i = n-1; i>=0; i--)
    {
        if (!B[i])
            return i;
    }
    return -1;
}
int nadd2(int left, int right)
{
    int Blength = right - left + 1;
    int length = Blength;
    int *B = new int[length];
    for (int i=0; i<length; i++)
        B[i] = 0;
    int mcl = 0;
    while (length > 0)
    {
        int ccl = 1;
        int pos = getCandidate(B, left, Blength);
        if (pos==-1)
            break;
        B[pos] = 1;
        length--;
        int A = pos+left;
        while (A!=1)
        {
            ccl ++;
            A = (A%2)?(3*A+1):(A/2);
            int Apos;
            if ((A-left>Blength)||(B[A-left])||(A<left))
                Apos = -1;
            else
                Apos = A-left;
                
            //B[Apos] = 1;
            if (Apos!=-1)
            {
                B[Apos] = 1;
                length --;
            }
        }
        mcl = (mcl<ccl)?ccl:mcl;
    }
    delete[] B;
    return mcl;
}
int main()
{
    int left, right;
    while(cin>>left>>right)
        cout<<left<<" "<<right<<" "<<nadd2(left,right)<<endl;
    return 0;
}

 

 

5.       复杂性分析

主要的耗时部分是二层循环部分 , 而外层循环的次数主要取决于内层循环在区间内的命中率 . 没有进行过统计学的分析 , 但只要 candidate 选取合适 , 每次内层循环会有大于 50% 的命中率 .

假设区间内数 A 的内层循环次数 ( 即由 A 按照规则变为 1 的 cycle-length) 为 X, 平均命中率为 p, 那么时间复杂度为 :

T(n) = X*T(n*(1-p))     // 其中 X 为平均的 cycle-length

6.       备注

在实现过程中 , 最初使用的是 C++ 中的 vector, 但运行时的实际耗时比使用数组的蛮力法还要长 , 经过分析 , 这是因为编译器在维护 vector 这个数据结构时所耗时长是比较大的 , 特别是当使用 vector 的 earse 方法来删除某个特定元素时 . 所以最后还是使用最基本的数组来实现 , 用标记来指示删除状态 .

所以在实际的算法实现中 , 数据结构的选取也是非常重要的 , 所谓的程序 = 算法 + 数据结构是也 .

可以改进的地方包括有 :getCandidate 函数的算法 , 即如何预估一个具有较长 cycle-length 的元素 ; 还有当内层循环出现在区间内已标记为删除状态的元素中时 , 这时内层循环可终止