【LeetCode】4.Median of Two Sorted Arrays

Divide and Conquer

问题描述：

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should beO(log (m+n)).

例子：

nums1 = [1, 2]nums2 = [3, 4]The median is (2 + 3)/2 = 2.5

nums1 = [1, 2]nums2 = [3, 4]The median is (2 + 3)/2 = 2.5

思路：

如果我们不考虑时间复杂度，那么这道题将变得很简单，也会有许多的解法。然而题目中有时间复杂度的要求，限制的时间复杂度是O（log(m+n)）。看到这样的时间复杂度，我们很容易就想到用二分查找方法去解决这道题目。

我们可以将求中位数的问题视为求第k小的数的问题。

首先，两个数组的元素总数有两个可能：奇数、偶数。分两种情况讨论：奇数时，求得第(m+n+1)/2小的数即为中位数；偶数时，求得第 (m+n)/2 和第 (m+n)/2+1 小的数相加除以2得到中位数。

我们可以结合起来得到中位数为第 (m+n+1)/2 和第 (m+n+2)/2 小的数相加除以2。

接下来是解决如何求出第k小的数的问题。两个数组都是排好序的，假设为A, B。使用类似于二分的思想，找到A,B数组各自的第k/2小的数a, b。比较a,b，有三种可能：

① a < b。这表明两数组合并后的第k小的数不在A数组前k/2小的元素中，即这些元素都比所求第k小的数要小，我们将其排除掉。

② a > b。与前面类似，将B数组前k/2个元素排除。 

③ a = b。这表明第k小的数已经被我们得出，为a 或 b。

按照这种思路，通过递归，不断缩小范围以得到第k小的数。

具体实现时，还要注意以下几个地方：

1.为了使算法更加有效，每次递归的时候，我们先比较两数组大小，规定元素数目更小的为A。这样做我们只需要考虑A的长短即可，不需要分别讨论。

2.若数组长度比k/2小的时候，取数组的最后一个元素。

3.边界条件：当A为空时，直接得到结果B[k-1] ;  当k = 1时，比较A，B各自的第一个元素，取较小的那一个为结果。

代码实现

int cut(vector<int> nums1, vector<int> nums2, int k) {    int m = nums1.size();    int n = nums2.size();    if (m > n) return cut(nums2, nums1, k);    if (m == 0) return nums2[k - 1];    if (k == 1) return min(nums1[0], nums2[0]);    int i = min(m, k / 2);    int j = k - i;    if (nums1[i - 1] > nums2[j - 1]) {        return cut(nums1, vector<int>(nums2.begin() + j, nums2.end()), k - j);    } else if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {        return nums1[i-1];    } else {        return cut(vector<int>(nums1.begin() + i, nums1.end()), nums2, k - i);    }  }double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {    int m = nums1.size();    int n = nums2.size();    return (cut(nums1, nums2, (m + n + 1) / 2) + cut(nums1, nums2, (m + n + 2) / 2)) / 2.0;}

算法复杂度刚好为O（log(m+n)）。