K Inverse Pairs Array (leetcode)

K Inverse Pairs Array

       

        Given two integers n and k, find how many different arrays consist of numbers from 1 ton such that there are exactlyk inverse pairs.We define an inverse pair as following:Forith andjth element in the array, ifi < j anda[i] > a[j] then it's an inverse pair; Otherwise, it's not. Since the answer may be very large, the answer should be modulo 10⁹ + 7.

Example 1:

Input: n = 3, k = 0Output: 1Explanation: Only the array [1,2,3] which consists of numbers from 1 to 3 has exactly 0 inverse pair.

Example 2:

Input: n = 3, k = 1Output: 2Explanation: The array [1,3,2] and [2,1,3] have exactly 1 inverse pair.

Note:

1. The integer n is in the range [1, 1000] andk is in the range [0, 1000].

        时间复杂度O(nk)，空间复杂度O(nk)。

解题思路：

        用二维数组 v[i][j] 表示长度为 j ，逆对数量为 i 的数组的个数。

        假如有这样一个数组： 【3， 2， 4， 1】  -----  逆对有 4

        那么在其中插入数字 5 之后可能得到的数组有：     【5， 3， 2， 4， 1】  -----  逆对有 4 + 4

                                                                                              【3，5， 2， 4， 1】  -----  逆对有 4 + 3

                                                                                         【3， 2，5， 4， 1】  -----  逆对有 4 + 2

                                                                                    【3， 2， 4，5， 1】  -----  逆对有 4 + 1

                                                                               【3， 2， 4， 1，5】  -----  逆对有 4 + 0

        同理，和【3， 2， 4， 1】具有相同逆对的【3， 4， 2， 1】在插入数字 5 之后同样具有以上的规律，因为 5 最大，所以在数字 5 之后的数字和 5 配对时一定是逆对。

        那么得到以下式子：

                v[i][j] = v[i][j-1] +

                            v[i-1][j-1] +

                                  ......

                            v[i-j+1][j-1].    （ i-j+1 >= 0）

        加到第 i-j+1 项的原因是长度是 j-1 的数组插入数字 j 后最多只能增加 j-1 个逆对，所以要得到逆对数是 i 的数组数，最短可以从长度是 i-(j-1)=i-j+1 的数组插入数字 j 而得到（ j 放在最前面）。

        本来得到上面的式子就可以用动态规划去解题了，但是此时时间复杂度是 O(n^2 * k)。其实可以通过相似的式子想减而把时间复杂度降低。

        同理 v[i-1][j] = v[i-1][j-1] +

                                 v[i-2][j-1] +

                                     ......

                                 v[i-j][j-1].     （ i-j >= 0）

       由上面两个式子想减可以得出：

               v[i][j] = v[i-1][j] + v[i][j-1] - v[i-j][j-1].

      

代码：

int kInversePairs(int n, int k) {    if (n < 0 || k < 0) return -1;    long mod = 1000000007;    vector<vector<long> > v(k+1, vector<long>(n+1, 0));    int i, j, tmp;    for (i = 0; i <= n; ++i) {        v[0][i] = 1;    }    for (i = 1; i <= k; ++i) {        for (j = 1; j <= n; ++j) {            tmp = i - j;            v[i][j] = v[i-1][j] + v[i][j-1];            if (v[i][j] >= mod)                v[i][j] -= mod;            if (tmp >= 0) {                v[i][j] += mod;                v[i][j] -= v[tmp][j-1];            }            if (v[i][j] >= mod)            v[i][j] -= mod;        }    }    return v[k][n];}