汉诺塔游戏研究

汉诺塔（又称河内塔）问题是印度的一个古老的传说。开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个圆的金片，最大的一个在底下，其余一个比一个小，依次叠上去，庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。解答结果请自己运行计算，程序见尾部。面对庞大的数字(移动圆片的次数)18446744073709551615，看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。

 

　　后来，这个传说就演变为汉诺塔游戏:

　　1.有三根杆子A,B,C。A杆上有若干碟子

　　2.每次移动一块碟子,小的只能叠在大的上面

　　3.把所有碟子从A杆全部移到C杆上

　　经过研究发现，汉诺塔的破解很简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：

　　如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C

　　此外，汉诺塔问题也是程序设计中的经典递归问题。

　　算法思路：

　　1.如果只有一个金片，则把该金片从源移动到目标棒，结束。

　　2.如果有n个金片，则把前n-1个金片移动到辅助的棒，然后把自己移动到目标棒，最后再把前n-1个移动到目标棒.

　　3.单纯对于有N个金片要挪动的步数求出, 可以使用递推方法,满足递推方程f(i) = f(i - 1) * 2 + 1.

     今天，自己照着这个思路编了个C++程序，发现其实需要移动的次数和层数的关系是：2的层数次方-1。程序如下：

#include <iostream.h>

void move(char a,char c)
{
 static long count=0;
 count++;
 cout<<"第"<<count<<"次："<<a<<"->"<<c<<endl;
}

void hannuota(int num,char a,char b,char c)
{
 if (num==1)
  move(a,c);
 else
 {
  hannuota(num-1,a,c,b);
  move(a,c);
  hannuota(num-1,b,a,c);
 }
}

void main()
{
 int num;
 char a='a',b='b',c='c';
 cout<<"请输入汉诺塔的层数："<<endl;
 cin>>num;
 hannuota(num,a,b,c);
}

 

运行结果举例如下：

 

请输入汉诺塔的层数：
3
第1次：a->c
第2次：a->b
第3次：c->b
第4次：a->c
第5次：b->a
第6次：b->c
第7次：a->c

 

请输入汉诺塔的层数：
8
第1次：a->b
第2次：a->c
第3次：b->c
第4次：a->b
第5次：c->a
第6次：c->b
第7次：a->b
第8次：a->c
第9次：b->c
第10次：b->a
第11次：c->a
第12次：b->c
第13次：a->b
第14次：a->c
第15次：b->c
第16次：a->b
第17次：c->a
第18次：c->b
第19次：a->b
第20次：c->a
第21次：b->c
第22次：b->a
第23次：c->a
第24次：c->b
第25次：a->b
第26次：a->c
第27次：b->c
第28次：a->b
第29次：c->a
第30次：c->b
第31次：a->b
第32次：a->c
第33次：b->c
第34次：b->a
第35次：c->a
第36次：b->c
第37次：a->b
第38次：a->c
第39次：b->c
第40次：b->a
第41次：c->a
第42次：c->b
第43次：a->b
第44次：c->a
第45次：b->c
第46次：b->a
第47次：c->a
第48次：b->c
第49次：a->b
第50次：a->c
第51次：b->c
第52次：a->b
第53次：c->a
第54次：c->b
第55次：a->b
第56次：a->c
第57次：b->c
第58次：b->a
第59次：c->a
第60次：b->c
第61次：a->b
第62次：a->c
第63次：b->c
第64次：a->b
第65次：c->a
第66次：c->b
第67次：a->b
第68次：c->a
第69次：b->c
第70次：b->a
第71次：c->a
第72次：c->b
第73次：a->b
第74次：a->c
第75次：b->c
第76次：a->b
第77次：c->a
第78次：c->b
第79次：a->b
第80次：c->a
第81次：b->c
第82次：b->a
第83次：c->a
第84次：b->c
第85次：a->b
第86次：a->c
第87次：b->c
第88次：b->a
第89次：c->a
第90次：c->b
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第93次：b->c
第94次：b->a
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第96次：c->b
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第104次：a->c
第105次：b->c
第106次：b->a
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第108次：b->c
第109次：a->b
第110次：a->c
第111次：b->c
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第113次：c->a
第114次：c->b
第115次：a->b
第116次：c->a
第117次：b->c
第118次：b->a
第119次：c->a
第120次：c->b
第121次：a->b
第122次：a->c
第123次：b->c
第124次：a->b
第125次：c->a
第126次：c->b
第127次：a->b
第128次：a->c
第129次：b->c
第130次：b->a
第131次：c->a
第132次：b->c
第133次：a->b
第134次：a->c
第135次：b->c
第136次：b->a
第137次：c->a
第138次：c->b
第139次：a->b
第140次：c->a
第141次：b->c
第142次：b->a
第143次：c->a
第144次：b->c
第145次：a->b
第146次：a->c
第147次：b->c
第148次：a->b
第149次：c->a
第150次：c->b
第151次：a->b
第152次：a->c
第153次：b->c
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第156次：b->c
第157次：a->b
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第159次：b->c
第160次：b->a
第161次：c->a
第162次：c->b
第163次：a->b
第164次：c->a
第165次：b->c
第166次：b->a
第167次：c->a
第168次：c->b
第169次：a->b
第170次：a->c
第171次：b->c
第172次：a->b
第173次：c->a
第174次：c->b
第175次：a->b
第176次：c->a
第177次：b->c
第178次：b->a
第179次：c->a
第180次：b->c
第181次：a->b
第182次：a->c
第183次：b->c
第184次：b->a
第185次：c->a
第186次：c->b
第187次：a->b
第188次：c->a
第189次：b->c
第190次：b->a
第191次：c->a
第192次：b->c
第193次：a->b
第194次：a->c
第195次：b->c
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第210次：c->b
第211次：a->b
第212次：c->a
第213次：b->c
第214次：b->a
第215次：c->a
第216次：c->b
第217次：a->b
第218次：a->c
第219次：b->c
第220次：a->b
第221次：c->a
第222次：c->b
第223次：a->b
第224次：a->c
第225次：b->c
第226次：b->a
第227次：c->a
第228次：b->c
第229次：a->b
第230次：a->c
第231次：b->c
第232次：b->a
第233次：c->a
第234次：c->b
第235次：a->b
第236次：c->a
第237次：b->c
第238次：b->a
第239次：c->a
第240次：b->c
第241次：a->b
第242次：a->c
第243次：b->c
第244次：a->b
第245次：c->a
第246次：c->b
第247次：a->b
第248次：a->c
第249次：b->c
第250次：b->a
第251次：c->a
第252次：b->c
第253次：a->b
第254次：a->c
第255次：b->c

 

看来确实是个指数级增长的问题。。。

嘿嘿以后玩这个游戏就可以作弊了，哈哈