最大子序列和线性算法

最大子序列和线性算法

 

问题描述：

       给定整数A1， A2，……AN （可能有负数），求I到j的最大值。

例如：

       -2, 11, -4, 13, -5, -2时答案为20

 

对于这个问题的算法有很多，当然我要说的是使用“动态规划”算法实现的程序，对于这个算法，我可以说很多人都曾经想到，但是没有想全（因为我就是这样的）。还有一点对于这个问题的动态规划的解法是非常经典的，她的时间复杂度是O(n),也就是线性的。而对于穷举法它的时间复杂度可是O(n³), 这样看来可以巨大的改进了。

 

考虑这样的一个问题，我们从最简单的左边开始看，就如上面的例子，-2对于结果有影响吗？回答是没有。那么让我们看下面这样一个例子：

       6, -7, ……

       此时，我们还需要考虑6 和 –7 吗，有些人说要的，因为可能对于6，后面没有比其更大的了，是啊。问题是这样的。那么对于后面的结果分析其有影响吗？这个时候我们可以说没有影响的！

       到现在，上面是不是大家多曾经想到了呢？呵呵，我曾经就想到了，那我们为什么不把这问题，推倒后面呢？动态规划法就是解决这样的一个问题，我们知道此时前面的两个数就是一种最优的子结构（尽管只有2个数，不过是完全可以推广的。）

       书中的算法就告诉我们是如何推广的，我写这样的一篇文章的具体目的也就是为了说明以上的问题，因为我和大家一样都曾经想到了前面的算法，却没有考虑下去。以此感慨！并遗憾！

       那么书中的算法是这样的：（看这个算法之前应该先知道这个问题的“分治法”的求解，这样更让你觉得，这个算法的完美之处。）

 

Int MaxSubsequenceSum(const int A[], int N)

{

       int ThisSum, MaxSum, j;

       ThisSum = MaxSum = 0;

       For(j=0; j < N; j++)

{

              ThisSum += A[j];

              If (ThisSum > MaxSum)

                     MaxSum = ThisSum;

              Else if(ThisSum < 0)

                     ThisSum = 0;

}

return MaxSum;

}

       对于这个算法的分析(逻辑):

              从左相右相加，若结果不断的增加，那么ThisSum将同MaxSum一起增加，如果遇到负数，那么也加到ThisSum上去，但是此时ThisSum < MaxSum，那么就不加。看ThisSum是不是会回升，若一直不回升，不断或是波浪型的下降，那么当它降到0时，说明前一段与后一段是可以抛弃的。正如有 7 ， -8 一样，我们可以不要这两个数，但是我们知道MaxSum依然保存着前一段的最大值，（这就是这个算法中的厉害，我认为）。然后，ThisSum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前MaxSum大的子段，然后替换（此时可以彻底抛弃前一段）。这样一趟扫描结果也就出来了。

 

后记：

       对于这个问题，一开始对于分治算法，我们可能很容易想对，而对与动态规划可能我们很难想到（至少我没有那么轻易就想到了）。尽管如此，还是比较庆幸想到了其最优子结构，问题解决到此，当然对于这个问题，我们还是可以用“分治”算法，其时间复杂度为:O(nlogn)，也是比较优的，当然没有上面提到的优。