HDU 1028 Ignatius and the Princess III （母函数 或 动态规划DP）

传送门：HDU 1028

Sample Input

41020

Sample Output

542627

题目大意：

对于给定的数N，问N有多少种不同的拆分方式。如：4=4 ， 4=3+1 ， 4=2+2 ，4=2+1+1 ，4=1+1+1+1 ，共5种不同的拆分方式，注意 4=1+3和4=3+1是同一种。1<=N<=120.

前置技能：

1.拆分数： 整数拆分就是把正整数 分解成若干正整数的和。不同的拆分方法的总数叫做拆分数。

2.母函数：关于母函数的讲解可以参考我写的文章普母函数详解。

这个题大约有两种做法，一种是母函数，一种是动态规划，个人感觉母函数的思路要简单一点，就是套模板，但是代码较动态规划的要多一点。

母函数版思路：

N最大为120，则N最多可以由N个数组成，即N个1组成，最少可以由一个数N组成。则可以把题目转化为，现在有值为1~120的120个数，每个数最多有120个，问N可以由给出这些数的不同的组成方式。这样就转化为了求组合数的问题，就可以用普通型母函数来解决了。

具体实现：

值为 i 的数就对应着 x^i ，即v[i]=i；每个数值的数最少有0个，则s[i]=0；每个数值的数最多有120个，则e[i]=120；初始化完毕后直接调用母函数的模板，然后输出结果就好。

#include<stdio.h>#include<string.h>#define MAXN 122int a[MAXN],b[MAXN]; //a存储最终结果，b存储中间结果 int s[MAXN],e[MAXN],v[MAXN];//s为第i个数最少的个数，e为第i个数最多的个数，v为第i个数的数值 //直接调用母函数模板 void mu(int n){ //n为因子个数 int i,j,k;memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;for(i=1;i<=n;i++){memset(b,0,sizeof(b));for(j=s[i];j<=e[i]&&j*v[i]<=MAXN;j++)for(k=0;k+j*v[i]<=MAXN;k++)b[k+j*v[i]]+=a[k];memcpy(a,b,sizeof(b));}}int main(){int i,n;//先初始化s、e、v数组 memset(s,0,sizeof(s));for(i=0;i<122;i++) {e[i]=120;v[i]=i;}mu(120);while(~scanf("%d",&n)){ //a[i]存的是x^v[i]前的系数，即第i个数（数值为v[i]的数）的拆分数 printf("%d\n",a[n]);}return 0;}

动态规划版思路：

我们用dp[n][k]表示用若干最大不超过k的数组成数字n的不同方法数。则可以得到动态转移方程：dp[n][k]=dp[n][k-1]+dp[n-k][k] 。

也就是如果组成n的若干数中没有用到数字k，只用了比k小的数，则方法有dp[n][k-1]种；如果组成n的若干数中用到了数字k，也就是最大数为k，则先从n中拿出一个值为k的数，就保证了一定有k，剩余值为n-k的数可以有不超过k的若干数组成，有dp[n-k][k]种。将两者相加即可。

边界条件：

dp[n][1]=1，dp[1][n]=1，dp[0][n]=1 ，注意当dp[n][m]中m>n时，dp[n][m]=dp[n][n]

#include<stdio.h>#include<string.h>int main(){int i,j,n;int dp[122][122];memset(dp,0,sizeof(dp));for(i=1;i<=120;i++){dp[i][1]=1;dp[1][i]=1;dp[0][i]=1;}for(i=2;i<=120;i++)for(j=2;j<=120;j++)if(j>i) dp[i][j]=dp[i][i];else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];while(~scanf("%d",&n)){printf("%d\n",dp[n][n]);}return 0;}