[线性代数]行列式

二阶、三阶行列式的性质

行列式若有两列相同，则行列式的值为0

二阶行列式的性质

1. 行列互换，二阶行列式值不变，即：
   

   a11a21a12a22=a11a12a21a22=a11×a22−a12×a21

   在二阶行列式中，行与列的地位相同。即二阶行列式对行成立的结论，对列也同样成立。

2. 若二阶行列式中某行(列)，每个元素分成两个数之和，则该行列式可关于该行（列）拆开成两个行列式之和，拆开时其他行（列）保持不变。即：
   

   a11+b11a21a12+b12a22=a11a12a21a22+b11a21b12a22

3. 两行（列）互换，行列式的值改变正负性。即：
   

   a11a21a12a22=−a21a11a22a12

4. 二阶行列式中某行（列）有公因子k时，k可以提取到行列式外。即：
   

   k×a11a21k×a12a22=k×a11a21a12a22

5. 二阶行列式中某一行(列)加上另一行(列)的k倍时，其值不变。即：
   
   k×a21+a11a21k×a22+a12a22=a11a21a12a22

三阶行列式的展开式和性质

三阶行列式展开式

余子式

在三阶行列式中，划去第i行第j列后所剩下的2阶行列式称为元素aij的余子式，记为Mij，即：M11=a22a32a23a33，M12=a21a31a23a33，M13=a21a31a22a32

代数余子式

再令：Aij=(−1)i+jMij称之为元素aij的代数余子式，例如：A11=M11，A12=−M12，A13=M13

性质

1. 行列互换，三阶行列式的值不变。
2. 若二阶行列式中某行(列)，每个元素分成两个数之和，则该行列式可关于该行（列）拆开成两个行列式之和，拆开时其他行（列）保持不变。
3. 两行（列）互换，三阶行列式的值改变正负性。
4. 二阶行列式中某行（列）有公因子k时，k可以提取到行列式外。
5. 二阶行列式中某一行(列)加上另一行(列)的k倍时，其值不变。

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n元排列

n元排列的逆序及逆序数

1. 由1,2,…,n组成的有序数组称为一个n元排列，记为j1,j2,...,jn。全体n元排列组成的集合记为Pn
2. 在一个n元排列j1,j2,...,jn中，如果一个大数排在小数前面，即当s<t时，有js>jt，则称这一对数jsjt构成一个逆序，此排列的逆序总数称为它的逆序数，记为τ(j1,j2,...,jn)。如：τ(12...n)=0，τ(n(n−1)...21)=(n−1)+(n−2)+...+1=n2(n−1)

n元排列的奇偶性

1. 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列
2. 对于n阶行列式，列下标的排列是偶排列的代数余子式的符号是正，否则为负

对换及其对排列奇偶性的影响

1. 在一个排列中把两个数i与j互换位置，这样的操作称为对换，记为(i,j)。对换之后奇偶性改变。
2. 全部n(n≥2)元排列中奇偶排列各占一半
3. 奇（偶）排列经奇（偶）次排列后可化为自然排列

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n阶行列式的定义

对角线法则对4阶及以上行列式不适用

a11a21⋅⋅⋅an1a12a22an2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a1na2nann=∑j1j2⋅⋅⋅jn∈Pn(−1)τ(j1j2⋅⋅⋅jn)a1j1a2j2⋅⋅⋅anjn

1. n!项代数和；
2. 每项为选自不同行、不同列的n个元素之积；
3. 每项符号：行下标按自然排列排好后，列下标排列的奇偶性决定符号正负；
4. 可视为对方阵A=(aij)n×n的一种运算，也记作det(A)或|A|

用定义计算行列式

先转换为三角形矩阵，再计算
对角行列式、上（下）三角行列式均等于其对角线元素的乘积，即均等于a11a22⋅⋅⋅ann=∏ni=1aii

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行列式的性质

转置行列式

将行列式中的行列互换，所得新的行列式称为转置行列式，记为DT
1. 行列式与它的转置行列式相等即D=DT；
2. 某列（行）相加可拆项。即若行列式的某一行或某一列的元素都是两数之和，则D等于两个行列式之和（仅拆分一列（行），其他列（行）保持不变）；
3. 行列式某一列（行）的公因子可以提到行列式外；（若行列式有某一行（列）元素全为零，则行列式的值为零）
4. 交换行列式两行（列）的位置，行列式正负性改变；
5. 行列式的某一行（列）加上另一行（列）的常数倍，行列式的值不变；

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参考课程：
《线性代数（先修课）》——学堂在线(清华大学，杨晶老师)