贪心算法

一、基本思想

顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。

二、基本要素

1.贪心选择性质。所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。
动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。
对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。
2. 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。

三、贪心算法与动态规划算法的异同

**相同点：都具有最优子结构性质。
不同点：动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题；而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行；**

下面研究2个经典的组合优化例题，并以此说明贪心算法与动态规划算法的主要差别。
0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

背包问题： 与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。

这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似；但背包问题可以用贪心算法求解；而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。

对于0-1背包问题：
例：n=3 ， w={10,20,30} ，v={60,100,120} ，c=30
什么是最好的部分解？ ——求单位价值。
按贪心法：选择价值最大的放入 ： 全部放入第3个物品，价值120。
但这并不是最好的， 若1，2 物品的放入，总价值160。

对于背包问题：
例：n=3 w={10,20,30} v={60,100,120} c=50
单位价值：v/w={6,5,4}
因此，第一次挑一号物品全部装入, r=40,pv=60
第二次挑2号，全部装入r=20,pv=160
第三次挑3号，部分装入r=0,pv=160+80=240

事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。所以对于0-1背包问题，适合采用动态规划来求解。

动态规划解0-1背包问题：
例：n=3 ，w={30,20,10} ，v={120, 100,60} ，c=50
dp(i,j)是背包容量为j，可选择物品为1, 2,…,i时的最优值

四、贪心算法的应用

1：活动时间安排的问题
设有N个活动时间集合，每个活动都要使用同一个资源，比如说会议场，而且同一时间内只能有一个活动使用，每个活动都有一个使用活动的开始si和结束时间fi，即他的使用区间为（si,fi）,现在要求你分配活动占用时间表，即哪些活动占用该会议室，哪些不占用，使得他们不冲突，要求是尽可能多的使参加的活动最大化，即所占时间区间最大化！

2、线段覆盖
在一维空间中告诉你N条线段的起始坐标与终止坐标，要求求出这些线段一共覆盖了多大的长度。

3、数字组合问题
设有N个正整数，现在需要你设计一个程序，使他们连接在一起成为最大的数字，例3个整数 12,456,342 很明显是45634212为最大，4个整数 342，45,7,98显然为98745342最大

4、找零钱的问题
在贪心算法里面最常见的莫过于找零钱的问题了，题目大意如下，对于人民币的面值有1元 5元 10元 20元 50元 100元，下面要求设计一个程序，输入找零的钱，输出找钱方案中最少张数的方案，比如123元，最少是1张100的，1张20的，3张1元的，一共5张！

5、多机调度问题
n个作业组成的作业集，可由m台相同机器加工处理。要求给出一种作业调度方案，使所给的n个作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。作业不能拆分成更小的子作业；每个作业均可在任何一台机器上加工处理。这个问题是NP完全问题，还没有有效的解法(求最优解)，但是可以用贪心选择策略设计出较好的近似算法(求次优解)。当n<=m时，只要将作业时间区间分配给作业即可；当n>m时，首先将n个作业从大到小排序，然后依此顺序将作业分配给空闲的处理机。也就是说从剩下的作业中，选择需要处理时间最长的，然后依次选择处理时间次长的，直到所有的作业全部处理完毕，或者机器不能再处理其他作业为止。如果我们每次是将需要处理时间最短的作业分配给空闲的机器，那么可能就会出现其它所有作业都处理完了只剩所需时间最长的作业在处理的情况，这样势必效率较低。

6、哈夫曼编码
哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。

7、Dijkstra算法
Dijkstra算法是由E.W.Dijkstra于1959年提出，是目前公认的最好的求解最短路径的方法，使用的条件是图中不能存在负边。算法解决的是单个源点到其他顶点的最短路径问题，其主要特点是每次迭代时选择的下一个顶点是标记点之外距离源点最近的顶点，简单的说就是bfs+贪心算法的思想。

8、最小生成树算法
设一个网络表示为无向连通带权图G =(V, E) , E中每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树的代价是指生成树上各边权的总和，在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。例如在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权c[v][w]表示建立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，最小生成树给出建立通信网络的最经济方案。