splay那点奇诡的东东（填坑ing）

当然要在前面先哔一哔

（首先，不知道BST是什么的话……戳这里）

众所周知BST的期望复杂度为O(log2n)，但数据用链卡直接就成了O(n)的复杂度
人类的智慧是伟大的，这时，BBT们就该出场了
BBT（平衡树），有red black tree、AVL、替罪羊、treap、splay等
BBT采取了某些和谐的思想，把原本卡成链复杂度接近O(n)的BST，重新变回O(log2n)的复杂度

接下来，该介绍今天的主角——splay了

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splay

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没用的东西我们学来干嘛？

splay，中文名伸展树、分裂树，BBT的一种，实际是BST的神奇优化
（英文名叫splay或者是splay，我不知道，所以都称作splay了）

• splay可以O(log2n)时间插入、查找以及删除，速度快到飞起，用途广，代码复杂度不高

• 其实真正的情况是，所有能用线段树做的题目都能用splay切掉！

• 比起其他BBT，splay不用记录某些东东，空间比其他BBT优

• 仅是用旋转来让整课树不退化成链，这点和treap有点像

• 但时间复杂度可是相当的不稳定……这个等会再解释

那就，不管那么多了

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极其脑残的旋转

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What is 旋转？

在放图片前说一下
splay旋转的目的是让一个节点通过旋转成为另一个节点的儿子节点，然后进行单点或区间操作
（最基础的两个旋转和treap的两个旋转是一样的，但是双旋……咳咳）

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怎么旋转？

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left rotate

左旋：把p的右儿子q旋转，使q成为p的父亲

左旋步骤：

• 把q的父亲标记为p的父亲（即q的祖父）

• 把p的父亲标记为q

• 此时q有三个儿子节点，为了保证splay tree是二叉树，再把q的左儿子B的父亲标记为p

（不懂就画个图，清晰明了）

由右图可知：A < P < B < Q < C，从右树转到左树，虽然节点位置发生了变化
但A<P<B<Q<C 仍成立，BST性质没有被破坏

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left rotate code

void left_rotate(int x){    downdata(father[x]);    downdata(x);    int y=father[x],z=father[y];    father[x]=z,father[y]=x;    if (z==0)root=x;    else    {        if (tree[z][1]==y)        {            tree[z][1]=x;        }        else tree[z][2]=x;    }    size[y]=size[tree[y][1]]+size[tree[x][1]]+1;    size[x]=size[x]+size[y]-size[tree[x][1]];    if (tree[x][1])    {        father[tree[x][1]]=y;    }    tree[y][2]=tree[x][1];    tree[x][1]=y;}

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right rotate

右旋：把q的左儿子p旋转，使p成为q的父亲

步骤、性质和左旋同理，这里不再多讲

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right rotate code

void right_rotate(int x){    downdata(father[x]);    downdata(x);    int y=father[x],z=father[y];    father[x]=z,father[y]=x;    if (z==0)root=x;    else    {        if (tree[z][1]==y)        {            tree[z][1]=x;        }        else tree[z][2]=x;    }    size[y]=size[tree[y][2]]+size[tree[x][2]]+1;    size[x]=size[x]+size[y]-size[tree[x][2]];    if (tree[x][2])    {        father[tree[x][2]]=y;    }    tree[y][1]=tree[x][2];    tree[x][2]=y;}

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单旋

我们在这里，需要把z旋转到x的儿子节点（当x是z的祖父的时候）

直接右旋z

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直接左旋z

单旋一共只有两种情况
（其实旋转很简单……自己心神意会一下）

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more scientific rotate

简单不？简单，不过您以为这就完了？
OK经过一堆的单旋以后，splay树可能变成这样：

（可以自己思考思考为什么splay tree会变成这个狗(ノ=Д=)ノ┻━┻样）
那么，我们需要更加科学的方法

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双旋

比如我们要把α这个节点旋转到节点β的儿子节点
如果现在α的父亲、祖父都不是β的话，我们就需要双旋

双旋的时间复杂度Tarjan证过均摊 O(log2n)，而单旋是O(n)，速度差别很大

（注意是均摊……均摊……均摊，不是期望！这就是splay时间复杂度不稳定的原因！）

双旋一共有四种情况

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situation one

下图是把x旋到z以上的某个父亲节点

明显，先左旋y，再左旋x

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situation two

下图是把z旋到x以上的某个父亲节点

同样的，先右旋y，再右旋z

上面两个是成一条链的情况

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situation three and four

下图是把x旋到z以上的某个父亲节点

这里很显然，先左旋x再右旋x

情况四和情况三是差不多的，即z的左儿子是y、y的右儿子是x，双旋是先右旋x再左旋x

图就不用再贴了

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splay code

单旋叫做spaly，双旋叫做splay，额貌似是这样？
哎算了不管那么多了￣3￣

反正我很确定的一点就是双旋的过程就被称作splay！

void splay(int x,int y){    if (x==y || x==0)return;    while (father[x]!=y)    {        if (father[father[x]]==y)        {            if (tree[father[x]][1]==x)            {                right_rotate(x);            }            else left_rotate(x);        }        else        {            if (tree[father[father[x]]][1]==father[x] && tree[father[x]][1]==x)            {                right_rotate(father[x]);                right_rotate(x);            }            else if (tree[father[father[x]]][1]==father[x] && tree[father[x]][2]==x)            {                left_rotate(x);                right_rotate(x);            }            else if (tree[father[father[x]]][2]==father[x] && tree[father[x]][1]==x)            {                right_rotate(x);                left_rotate(x);            }            else if (tree[father[father[x]]][2]==father[x] && tree[father[x]][2]==x)            {                left_rotate(father[x]);                left_rotate(x);            }        }    }}

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splay的查找

splay的查找和普通BST的查找并没有什么卵区别
由于BST性质，比当前节点关键字小就往左边找，大就往右边找，刚刚好不就找到了嘛

恩设当前的节点为now，左儿子为nowleft，右儿子为nowright
设size[x]表示以x为根的树有多少个节点，那么明显now是第几小的数就是size[left]+1

可能说的有点反人类，我自己鼠绘了个图

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find code

int find(int x,int y){    if (tree[x][1])downdata(tree[x][1]);    if (tree[x][2])downdata(tree[x][2]);    if (y==size[tree[x][1]]+1)return x;    else    {        if (y<size[tree[x][1]]+1)return query(tree[x][1],y);        else return query(tree[x][2],y-size[tree[x][1]]-1);    }}

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例题

例题万岁！

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例题1：【线段树】最大值

problem

题目描述

在N（1<=N<=100000）个数A1…An组成的序列上进行M(1<=M<=100000)次操作，操作有两种：

(1)1 x y：表示修改A[x]为y；

(1)2 x y：询问x到y之间的最大值。

输入

第一行输入N(1<=N<=100000)，表示序列的长度，接下来N行输入原始序列；接下来一行输入M(1<=M<=100000)表示操作的次数，接下来M行，每行为1
x y或2 x y

输出

对于每个操作(2)输出对应的答案。

样例输入

5 1 2 3 4 5 3 2 1 4 1 3 5 2 2 4

样例输出

4 5

数据范围限制

提示

【限制】

保证序列中的所有的数都在longint范围内

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analysis

线段树裸题，但我要用splay把它切了！

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为什么blog的末尾不哔一哔呢？