中国剩余定理

给出一些素数pi与一些余数ai 求满足%pi==ai的最小整数解

假设一些xi=pi*k+ai

那么如果我们想要Σxi成为其中的一个解

因为要保证其%pi==ai

那么存在xj%pi==0;(j!=i)

因为a%b==c==(a+kb)%b

所以存在xi为lcm(pj)(j!=i)的倍数

又存在xi%pi==ai

令M=πpi

所以只需要求出a(M/pi)%pi==ai的最小整数解

可以用欧扩求出

最后把这样的所有xi加起来对M取模 得到的就是最小解

例题：韩信点兵

【题目描述】

    韩信是中国军事思想“谋战”派代表人物，被后人奉为“兵仙”、“战神”。“王侯将相”韩信一人全任。“国士无双”、“功高无二，略不世出”是楚汉之时人们对其的评价。作为统帅，他率军出陈仓、定三秦、擒魏、破代、灭赵、降燕、伐齐，直至垓下全歼楚军，无一败绩，天下莫敢与之相争。

    相传，韩信带兵打仗时，从不直接清点军队人数。有一次，韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人。站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出人数：1049。

    这次，刘邦派韩信带兵N人攻打一座重兵驻扎的城市。城市占领了，可汉军也是伤亡惨重。韩信需要知道汉军至少损失了多少兵力，好向刘邦汇报。

    已知韩信发出了M次命令，对于第i次命令，他选择一个素数Pi，要求士兵每Pi人站一排，此时最后一排剩下了ai人。你的任务是帮助韩信求出这种情况下汉军损失兵力的最小值。当然，由于士兵们都很疲惫，他们有可能站错队伍导致韩信得到的数据有误。

【输入格式】

第一行两个正整数N,M，分别代表最初的军队人数和韩信的询问次数。

接下来有M行，每行两个非负整数Pi，ai，代表韩信选择的素数和此时剩下的人数。

输入保证每个素数各不相同。

【输出格式】

输出一行，一个整数。

若有解，输出最小损失人数。若无解，输出-1.

【样例输入】

1500 33 25 47 6

【样例输出】

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中国剩余定理裸题

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxn=20;typedef long long ll;int A[maxn],B[maxn];inline void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;d=a;y=0;return ;}else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=(a/b)*x;}}int main(){freopen("HanXin.in","r",stdin);freopen("HanXin.out","w",stdout);ll n;int m;scanf("%lld %d",&n,&m);ll res=0;ll M=1;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d %d",&A[i],&B[i]);M*=A[i];}for(int i=1;i<=m;i++){ll r=M/A[i];ll x=0,d=0,y=0;exgcd(r,A[i],d,x,y);ll aa=A[i]/d,bb=r/d;res=(res+x*r*B[i]+M)%M;}res=(res+M)%M;if (res > n) return puts("-1\n"), 0;while (res + M < n)res += M;printf("%lld\n",n-res);return 0;}