287. Find the Duplicate Number 寻找重复数

Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate element must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

Note:

1. You must not modify the array (assume the array is read only).
2. You must use only constant extra space.
3. Your runtime complexity should be less than O(n2).

Credits:
Special thanks to @jianchao.li.fighter for adding this problem and creating all test cases.

 

这道题给了我们n+1个数，所有的数都在[1, n]区域内，首先让我们证明必定会有一个重复数，这不禁让我想起了小学华罗庚奥数中的抽屉原理(又叫鸽巢原理), 即如果有十个苹果放到九个抽屉里，如果苹果全在抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个苹果，这里就不证明了，直接来做题吧。题目要求我们不能改变原数组，即不能给原数组排序，又不能用多余空间，那么哈希表神马的也就不用考虑了，又说时间小于O(n²)，也就不能用brute force的方法，那我们也就只能考虑用二分搜索法了，我们在区别[1, n]中搜索，首先求出中点mid，然后遍历整个数组，统计所有小于等于mid的数的个数，如果个数大于mid，则说明重复值在[mid+1, n]之间，反之，重复值应在[1, mid-1]之间，然后依次类推，直到搜索完成，此时的low就是我们要求的重复值，参见代码如下：

 

解法一：

class Solution {public:    int findDuplicate(vector<int>& nums) {        int low = 1, high = nums.size() - 1;        while (low < high) {            int mid = low + (high - low) * 0.5;            int cnt = 0;            for (auto a : nums) {                if (a <= mid) ++cnt;            }            if (cnt <= mid) low = mid + 1;            else high = mid;        }        return low;    }};

笔记：如果要求时间复杂度不能为O(n)或者O(n^2)，可以考虑使用额外空间（哈希表），或者采用二分查找法（时间复杂度为O(log(n))）。

经过热心网友waruzhi的留言提醒还有一种O(n)的解法，并给了参考帖子，发现真是一种不错的解法，其核心思想快慢指针在之前的题目Linked List Cycle II中就有应用，这里应用的更加巧妙一些，由于题目限定了区间[1,n]，所以可以巧妙的利用坐标和数值之间相互转换，而由于重复数字的存在，那么一定会形成环，我们用快慢指针可以找到环并确定环的起始位置，确实是太巧妙了！

class Solution {public:    int findDuplicate(vector<int>& nums) {        int slow = 0, fast = 0, t = 0;        while (true) {            slow = nums[slow];            fast = nums[nums[fast]];            if (slow == fast) break;        }        while (true) {            slow = nums[slow];            t = nums[t];            if (slow == t) break;        }        return slow;    }};

笔记：首先确定映射关系，从而形成带有环的链表。其次知道链表环的入口即为需要求解的重复数据，先用快慢指针找到环内某一节点，再从该节点和原点同时出发，经数学推导可知，它们首次相遇的节点即为链表环的入口，即为ans。