Find the Duplicate Number--重复数字问题

问题描述

Given an array nums containing n+1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

Note:

• You must not modify the array (assume the array is read only).
• You must use only constant, O(1) extra space.
• Your runtime complexity should be less than O(n2).
• There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once.

该问题中文简单描如下：
n+1个整数组成的数组，每个整数范围在1到n之间（保证至少有一个数重复），假设只有一个重复数字，但可以重复多次
算法要求：
数组只读、空间复杂度常数阶、时间复杂度小于平方阶

思路：
假设数组长度为nlen，可以设定下界low=1，上界high=nlen，中间值mid=（low+high）/2，从理论上讲，如果数字没有重复，mid值和实际算出来数组的中值应该是一样的（最大值不大于数组长度，也就是没有条数字）。但由于问题中最大值不会大于数组长度，保证了 一定会有一个重复数字，利用mid可以把数组分成两部分，一部分的值小于等于mid，另一部分的值大于mid，计算出第一部分的个数count，如果第一部分的个数大于mid，可以知道重复的数字是在这一部分里，否则在另一部分里。该部分可以得到新的low值和high值，比如在第一部分,low不变，high=mid，这两个值是为了得到新的mid值服务的，（low和high只是数的序号，不是真正的数组值）然后可以更新low和high的值，以此类推。

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下面举两个例子：
（1）数组{1,4,2,4,2}

循环条件：low<high
初始： low=1，high=5，mid=3，count=3

第一次：判断count≥mid
low=1，high=mid=3，mid=2，count=3

第二次： 判断count≥mid
low=1,high=mid=2,mid=1,count=1

第三次： 判断：count<mid
low=mid+1=2,high=2
循环结束

（2）数组{1,4,4,2,4}

循环条件：low<high
初始： low=1，high=5，mid=3，count=2

第一次：判断count<mid
low=mid+1=4，high=5，mid=4，count=3

第二次： 判断count≥mid
low=4,high=mid=4
循环结束

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上述设计思路满足算法要求，时间复杂度o（nlog2n）
注：
（1）low更新是为mid+1,否则会死循环(第一个例子)
（2）count的计算值是小于等于mid的数的个数，不是low和mid之间数值的个数。

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c++程序如下：

class Solution {public:int findDuplicate(vector<int>& nums){    int n = nums.size();        int low = 1;        int high = n;        int mid;        while(low<high)        {             mid = (low + high) / 2;            if (count(low,high,nums)<=mid)                low=mid+1;            else                high= mid;        }        return low;    }    int count(int low, int high, vector<int>& nums)    {        int count0 = 0;        int n = nums.size();        int mid = (low + high) / 2;        for (int i = 0;i <n;i++)        {            if (nums[i] <=mid )                count0++;        }        return count0;    }};

关联问题：二分查找