codeforces 183d(期望概率dp)
来源:互联网 发布:禁止软件开机启动 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 17:17
我还是在noip模拟看到这题,看起来就是dp,然而考试时并想不到正解,打暴力居然MLE。dp又不会做……
然后我用了一个上午才YY了出来。
题面
题目描述
你要给N个人准备礼物——T-shirt!但是你不知道他们的尺码……总共有M种尺码,编号从1到M。虽然你不记得每个人准确的尺码,但是你记得对于每一个人i,每一个尺码j,i的尺码正好是j的概率Pij.
现在你要买正好N件T-shirt,求能收到合适尺码礼物的人数的最大期望值。
你送礼物的方式是:从第1个人到第N个人依次询问,如果还有他们的尺码的T-shirt,就送出,否则就不送。
输入格式
第一行有两个整数N,M
接下来有N行,每行有M个整数,第i行的第j个整数表示Pij,用0到1000的整数表示,真实的概率用给出的数字除以1000得到。
保证每一行的整数和是1000。
输出格式
一个实数,即最大期望保留8位小数。
数据范围
50%的数据:1<=n<=500,1<=m<=100
100%的数据:1<=n<=3000,1<=m<=300
缘于我对期望的直觉,我觉得不同T-shirt之间是相互独立的,即对于每件T-shirt,你买多少件,就会产生固定的期望。不同T-shirt产生的期望是可以相加的。
看出了这一点,就可以想暴力了。
由于买多少件,就会产生固定的期望、一共买n件,所以核心算法应该是个分组背包。
所以我们就要求出每件物品,买1~n件分别的期望。
根据期望=概率*件数,对于第k件T-shirt,故我们设f[i][j]表示,假设你买了无限件,在前i个人,能送出j件的概率。
根据字面意思转移,有
设g[i]表示买i件送出件数的期望值,有
可以前缀和优化成O(n)
然后就是一个分组背包了。
这样复杂度是O(n^2*m),MLE的问题可以用滚动数组解决。
我们观察g数组,直觉告诉我们它是个上凸函数,在送礼物给小姐姐时,你送多少和她的美滋滋程度显然不是正比的,证明的话,通过一轮画柿子,就有
这个显然是单调的,所以就是上凸的了。
所以若g[i]不选,就不会选g[i+1],所以选一个算一个就可以了。
复杂度O(n^2+nm)。
#include <iostream>#include <fstream>#include <algorithm>#include <cmath>#include <ctime>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>using namespace std;#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))typedef long long LL;const int N=3030;int n,m;int a[N][N];int num[330];double f[330][N],g[330],h[N],sum[330],gl[N],last[330],ans;void work(int x){ num[x]++; if(num[x]>n) { g[x]=0; return; } for(int i=0;i<=n;i++) h[i]=f[x][i]; f[x][0]=0.0; for(int i=1;i<=n;i++) f[x][i]=f[x][i-1]*(1000.0-1.0*a[i][x])/1000.0+h[i-1]*1.0*a[i][x]/1000.0; gl[x]+=f[x][n]; sum[x]+=f[x][n]*num[x]; double now=sum[x]+(num[x]+1)*(1.0-gl[x]); g[x]=now-last[x]; last[x]=now;}int main(){ cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]); for(int ii=1;ii<=m;ii++) { f[ii][0]=1.0; for(int i=1;i<=n;i++) f[ii][i]=f[ii][i-1]*(1000.0-1.0*a[i][ii])/1000.0; gl[ii]=f[ii][n]; last[ii]=g[ii]=1.0-f[ii][n]; } for(int i=1;i<=n;i++) { double mx=0.0,tu; for(int ii=1;ii<=m;ii++) if(g[ii]>mx) { mx=g[ii]; tu=ii; } ans+=mx; work(tu); } printf("%.8lf",ans); return 0;}
即使我们手中空无一物,却能因此紧紧相牵。
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