最大连续子数组和与最大连续子矩阵和

这两个问题是编程中常见的问题，而且网上有大量博客论述，这里主要是自己做一个笔记。两个之间是有关系的，所以这次放在一起复习

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1. 最大连续子数组

先看第一个问题：

给定一个整数数组，数组里面可能有正数，负数、零。数组中的一个或多个连续数组构成一个子数组，每个子数组都有一个和，求所有子数组和的最大值。

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例子：数组a[]={1,-2,3,10,-4,7,2,5}.那么和最大的子数组为{3,10，-4,7,2}，所以结果输出18.

求解：

思路一：暴力法
找出数组的所有子数组，然后求组所有子数组中和最大的，其中确定一个子数组需要起始位置和终止位置，所以这一步的复杂度是O(n2),但是还要讲数组中的元素加起来，所以最后的复杂度是O(n3).
思路二：动态规划方法
假设给你一个数组A[n]={a1,a2,…,an},然后我告诉你前n−1个数构成的数组的子数组最大和为sn−1,
然后告诉你an的大小，你能否告诉我A的最大连续子数组和？答案是不行的，即使最后一个数是正数，我们也不能认为最大和为Sn−1+an,因为我们不知道前n-1个数的最大子数组包不包括an−1,如果包括那么可以相加，如果不包括无法相加。举个例子
A[]={1,2,3,−10,20}前四个数的最大子数组是1,2,3,所以和为6，虽然20是正数我们不能直接加上去，因为-10不在里面，加上20可能不连续。其实A的最大子数组就是20，所以需要一个条件：以an−1结束的最大连续子数组的和,假设这个和为Cn−1，那么知道an,就可以知道：

Cn=max{0,Cn−1}+an

那么最大子数组的和就是：

Sn=max{Cn,Sn−1}

,这里Sn−1代表前n−1个数构成的最大子数组和。
还是上面的例子，C4=1+2+3−10=−4,
S4=1+2+3=6,
C5=max{0,−4}+a5=20,
s5=max{C5,S4}=20,

所以程序中需要两个变量，一个是以ai结尾的最大连续子数组的和currSum（i），一个是去全局最大子数组的和maxSum。初始化均可设置为0，currSum的更新规则为：

currSum(i+1)=max(0,surrSum(i)+ai+1)

函数代码如下：

int maxSubArray(int a[],int n){    int maxSum=0;    int currSum=0;    for(int i=0;i<n;i++)    {        if(currSum>=0)            currSum+=a[i];//更新currSum        else            currSum=a[i];        if(currSum>maxSum)            maxSum=currSum;//更新maxSum    }    return maxSum;}

整个过程中currSum和maxSum更新如下：

currSum:0→1→−1→3→13→9→16→18→13

maxSum:0→1→1→3→13→13→16→18→18

拓展

1. 如果要求求出最大连续子数组的和，并且同属输出所求子数组的开始位置和起始位置？
   分析：这个问题还是比较好解决的，只要清楚什么最大子数组开始的条件和结束的条件就可以了，可以设置几个flag，其中开始点应该是currSum由负数变正数，且currSum大于maxSum的时候。而结束的时候应该是currSum大于maxSum且由正数变为正数。
2. 如果要求出最大子数组的和，但不要求子数组是连续的呢？
   分析：这个好办，大于0的数相加即可。
3. 如果是二维数组，同样要求求出最大连续子数组的和呢？

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针对第三个问题，引申出下面第二个问题：

给定一个M×N的矩阵，找出此矩阵的一个子矩阵，要求满足这个子矩阵的元素和是最大的，输出这个最大值，如果所有数是负数，就输出0.

例如：给定一个3×5的矩阵：

⎡⎣⎢121231045353410⎤⎦⎥

它的和最大子矩阵是：

[4553]

最后输出和的最大值为17.
当然这里要求的是一个方阵，还有一种更一般的是矩阵中有正有负，对于子矩阵的大小也没有要求：

⎡⎣⎢⎢⎢09−412218−7−6−40021−2⎤⎦⎥⎥⎥

那么最大子矩阵是：

⎡⎣⎢9−41218⎤⎦⎥

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那么如何求解这个问题呢？
如果采用暴力法——遍历所有子矩阵，那么需要找出所以子矩阵，确定子矩阵需要四个参数，左上角两个，右下角两个所以有O(n4)的复杂度，再加上对每个矩阵求和为O(n2)的复杂度，所以暴力法的复杂度约为O(n6).
我们在前面已经说到过，最大连续子数组和最大连续子矩阵的和这个问题是有相关性的。当我们确定矩阵的哪几行时，我们如何确定哪几列呢？，例如当我们要选取2,3,4行时，我们需要决定选取那几列的时候，我们只要将这个三行相加，得到一个一维数组，那么就可以用上一个问题的方法去解决了。
所以思路就是：我们遍历所有的行的组成情况，然后将选出来的行按列相加，构成一个一位数组的最大连续子数组问题。

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int maxSubMatrix(int a[],int m,int n)//二维数组以一位数组的形式存放，m和n分别代表矩阵的行和列{    int max=0;    int sum=-10000;  //选择一个足够小的数    int* p=new int[n];   //开辟一个用于存放和的一位数组    for(int i=0;i<m;i++)    {        memset(p,0,sizeof(int)*n);  //赋初值为0        for(int j=i;j<m;j++)        {            for(int k=0;k<n;k++)            {                p[k]+=a[j*n+k];  //累加求和            }            max=maxSubArray(p,n);  //调用一维数组的方法            if(max>sum)                sum=max;        }    }    delete [] p;    return sum;}

测试：

int main（）{        int s[]={0,-2,-7,1,9,2,-6,2,-4,1,-4,1,-1,8,0,-2};        cout<<maxSubMatrix(s,4,4)<<endl;        return 0;}

结果是：15

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延伸问题：长度最短连续子序列问题

有一个长度为n的正整数序列，现给定一个整数S，要求求出序列中长度最短的一个连续序列，且序列的和大于等于S。

分析：可以直接用两个for循环枚举所有子序列的起点和终点，但这种方法的时间复杂度为$O(n^3)$,需要找到更好的办法。其实，因为都是正数，所以当从第一个数开始累加，累加到大于S的时候，开始删掉前面的数，直到小于S，然后把后面的数加进来，这样遍历一遍就能解决掉。

int LessSeq(const int a[],int N,int s){    int start,end,sum;    start=end=sum=0;    int L=N+1;    while(end<N)    {        if(sum<s)            sum+=a[end];        while(sum>=s)        {            sum-=a[start];            L=min(L,end-start+1);            start++;        }        end++;    }    return L;}