POJ1201 Intervals

Description

You are given n closed, integer intervals [ai, bi] and n integers c1, …, cn.
Write a program that:
reads the number of intervals, their end points and integers c1, …, cn from the standard input,
computes the minimal size of a set Z of integers which has at least ci common elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,…,n,
writes the answer to the standard output.
Input

The first line of the input contains an integer n (1 <= n <= 50000) – the number of intervals. The following n lines describe the intervals. The (i+1)-th line of the input contains three integers ai, bi and ci separated by single spaces and such that 0 <= ai <= bi <= 50000 and 1 <= ci <= bi - ai+1.
Output

The output contains exactly one integer equal to the minimal size of set Z sharing at least ci elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,…,n.
Sample Input

5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1
Sample Output

6

题目传送门
牧哥免费翻译：给出n个区间，每个整数区间[ai,bi]中至少有ci个点。求整个区间中最少的点数

进入正题

被一个很猥琐的同学给D了

当我诚心诚意地向负责这个专题地同学请教的时候，他不屑地看我一眼：这么简单地差分约束都不会？？你好LaJi啊！！（yin笑飘过）。作者受到羞辱，愤怒难耐，疯狂刷题，沉迷学习。终于学明白了这个东西（笔记嘛…就在代码下面）。

PS：我的天，又是一个算法。我就颓了那么几天，怎么什么都蹦出来了？？

来来来，开讲开讲

不等式大家学过吧，小学数学。差分约束的精髓，就是利用不等式，将一些约束条件转化为边，然后跑最长（短）路。例如这道题吧，s[i]表示1~i有多少个点。那么按照题目描述，s[y]-s[x-1]>=c,移项得，s[x-1]<=s[y]-c。就建一条y到x-1权值为-c的边。

看出来了吗？差分约束一定要是小于等于号（类似莫比乌斯反演要自己推公式）

而且这道题又比较特殊，s[i-1]最多比s[i]少一个点，所以可以多列一个式得：s[i-1]-s[i]>=-1，继续拉成小于等于号。s[i-1]<=s[i]-0，s[i]<=s[i-1]+1。
就继续建边，比如a<=b+c 就ins（b,a,c），之后跑一遍最短路。

哇，这个最短路跑的我很蛋疼。那位D我的猥琐同学（当然他实力很强，这个专题学的不错）说：你想想，这张图，每个点不可能跑两次（为什么？你跑的是最短路，你访问完这个点之后再次访问就说明他跑了一个环，那你干嘛不直接访问，不跑前面那个环？这是个重点。），所以这张图顶多有n-1条边。如果一个点访问了n-1次，就说明出现了负环啊，不等式无解~~balabala。

代码是cbl同学提供的，好吧，友链…
他没写几篇博客，他说等他写了20篇博客，我就放友链
（友情提示，他到现在写了3篇博客）
好强啊，又被D了
但是学到不少，而且提高组还真的会考这个知识点。
在被D中成长，变强。
代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;struct bian{    int x,y,d,next;}a[510000];int len,last[51000];void ins(int x,int y,int d){    len++;    a[len].x=x;a[len].y=y;a[len].d=d;    a[len].next=last[x];last[x]=len;}int sta[51000],d[51000],ru[51000];bool v[51000];int main(){//    freopen("Intervals.in","r",stdin);//    freopen("Intervals.out","w",stdout);    int n,x,y,c,top,maxx,minn;    scanf("%d",&n);    len=0;memset(last,0,sizeof(last));    maxx=-999999999;minn=999999999;/*约束条件的推导：我们设s[i]表示从1～i这个区间内有多少个点那么每个约束条件可以表示为s[bi]-s[ai-1]>=cis[i-1]到s[i]最多有一个点所以有s[i]-s[i-1]>=0s[i-1]-s[i]>=-1s[ai-1]<=s[bi]-cis[i-1]<=s[i]-0s[i]<=s[i-1]+1*/    for(int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);//s[x-1]<=s[y]-c//看这和最短路代码if(d[y]>d[x]+a[k].d)d[y]=d[x]+a[k].d是不是很像=>   d[y]<=d[x]+a[k].d//所以把s[x-1]看成d[y],s[y]看成d[x],-c看成a[k].d，也就是由y到x-1新建一条值为-c的边        ins(y,x-1,-c);        maxx=max(maxx,y);//找最大点，因为题目保证y大于x，所以只需要判断y这个点就好        minn=min(minn,x-1);//找最小点，与上同理    }    for(int i=minn+1;i<=maxx;i++)    {        ins(i,i-1,0);//s[i-1]<=s[i]-0        ins(i-1,i,1);//s[i]<=s[i-1]+1    }    memset(v,0,sizeof(v));    memset(d,63,sizeof(d));    memset(ru,0,sizeof(ru));    top=0;    for(int i=minn;i<=maxx;i++)    {        sta[++top]=i;//在执行SPFA之前需要将所有的点入栈，保证每个点都访问得到        v[i]=1;        ru[i]++;    }    d[sta[top]]=0;//top必须是maxx，因为建边是从y到x-1，而存y的是maxx，所以只能由maxx作为起点//最短路用的是单向边，反过来路径长度就可能会增加    while(top!=0)    {        x=sta[top--];        for(int k=last[x];k;k=a[k].next)        {            y=a[k].y;            if(d[y]>d[x]+a[k].d)            {                d[y]=d[x]+a[k].d;                if(!v[y])//相当于(v[y]==0)                {                    v[y]=1;                    sta[++top]=y;                    ru[y]++;                    if(ru[y]>(maxx-minn))return 0;//两点间如果有最短路，那么每个点最多经过一次//也就是说，这条路不超过（n-1）条边（n为总点数）。只要有一个点进栈次数大于（n-1）次，那么就说明存在负环//在这题里n=maxx-minn+1，所以n-1=maxx-minn//只要有负环，那么证明不等式组无解//理解不了这里的可以参考一下这篇文章里关于SPFA环的部分                }            }        }        v[x]=0;    }    printf("%d\n",d[maxx]-d[minn]);//输出最小点到最大点的距离，即答案    return 0;}//差分约束的重点中的重点：约束式一定要化为y<=x+c的形式，否则模型直接的转换会出错/*差分约束系统的定义如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如x[j]-x[i]<=b[k](1<=i,j<=n),(1<=k<=m)则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求不等式组的解*//*差分约束系统的运用在面对多种多样的问题时，我们经常会碰到这样的情况：往往我们能够根据题目题面意思来建立一些简单的模型，但却面对这些模型无从下手。这时我们应该意识到，也许能够将这种模型与其他的模型之间搭起一座桥梁，使我们能够用更简单直接的方式解决它。差分约束系统很好地将某些特殊的不等式组与图相联结，让复杂的问题简单化，将难处理的问题用我们所熟知的方法去解决，它便是差分约束系统*/

by_lmy