区间dp小结

区间dp顾名思义就是在一个区间上进行的一系列动态规划，一般就是通过将区间划分成更小的区间，在小的区间中找到最优解，或者是其他的某些操作

一：基本题型

一般区间dp主要涉及两类问题

1.区间最优解

一般是枚举区间的分界点，将区间分割，然后将子区间的最优解合并为原区间的最优解

2.区间计数

区间计数也要分割区间，而且要做到不重叠，不遗漏

总之，区间dp问题解决的关键就是区间的分割

二.例题分析

1.石子归并

题目描述：

描述

    有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入

有多组测试数据，输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开

输出

输出总代价的最小值，占单独的一行

样例输入

31 2 3713 7 8 16 21 4 18

样例输出

9239

思路：dp[i][j]表示的从石子堆i合并到石子堆j的最小代价

状态转移：dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]}  k=(i~j-1)

ac代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#define N 210using namespace std;int dp[N][N],sum[N];int main(){    int n;    while(scanf("%d",&n)!=-1)    {        sum[0]=0;        int m;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d",&m);            sum[i]=sum[i-1]+m;        }        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int l=2;l<=n;l++)        {            for(int i=1,j=l;i<=n-l+1;j++,i++)            {                dp[i][j]=dp[i][i]+dp[i+1][j]+sum[j]-sum[i-1];                for(int k=i+1;k<j;k++)                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);            }        }        printf("%d\n",dp[1][n]);    }    return 0;}

2.括号匹配问题：

问题描述（poj 2955）：给出一些一些括号，然后计算一下它的最大匹配

思路：括号的最大匹配也是区间dp中非常典型的问题，dp[i][j]表示区间i到j之间的最大匹配

状态转移方程：if(i与j匹配)dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;

                      else dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j])  k=(i~j-1)

ac代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;char a[1005];int dp[1005][1005];int pos[1005][1005];int main(){    while(gets(a))    {        if(a[0]=='e')            break;        int len=strlen(a);        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int i=1;i<len;i++)        {            for(int j=0,k=i;k<len;j++,k++)            {                if((a[j]=='('&&a[k]==')')||(a[j]=='['&&a[k]==']'))                    dp[j][k]=dp[j+1][k-1]+2;                for(int h=j;h<k;h++)                {                    dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j][h]+dp[h+1][k]);                }            }        }        cout<<dp[0][len-1]<<endl;    }    return 0;}

加强版：

问题描述（poj 1141）：不是让我们求出最大匹配，而是让我们求出最少再添加多少个能够使所有括号都匹配，并且将最后的括号情况输出一下

思路：第一步其实非常简单

添加个数=原来总数-匹配数（那剩下的再分别添加一个）

但是我们应该怎么输出呢？

这就需要我们在算最大匹配的过程中标记一些东西，vis[i][j]表示的是我们在计算区间i到j的过程中所取的最优分割点的位置，如果此时的i与j正好匹配的话vis[i][j]=-1,然后递归输出就可以了

ac代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;char a[105];int dp[105][105];int vis[105][105];void prin(int x,int y){    if(x>y)        return;    if(x==y)    {        if(a[x]=='('||a[x]==')')           cout<<"()";    else        cout<<"[]";        return;    }    else    {        if(vis[x][y]==-1)        {            cout<<a[x];            prin(x+1,y-1);            cout<<a[y];        }        else        {            prin(x,vis[x][y]);            prin(vis[x][y]+1,y);        }    }}int main(){    while(gets(a))    {        int len=strlen(a);        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int i=1;i<len;i++)        {            for(int j=0,k=i;k<len;j++,k++)            {                if((a[j]=='('&&a[k]==')')||(a[j]=='['&&a[k]==']'))                    {dp[j][k]=dp[j+1][k-1]+2;                     vis[j][k]=-1;                    }                for(int h=j;h<k;h++)                {                    if(dp[j][h]+dp[h+1][k]>=dp[j][k])                    {                        dp[j][k]=dp[j][h]+dp[h+1][k];                        vis[j][k]=h;                    }                }            }        }        prin(0,len-1);        cout<<endl;    }    return 0;}

3.整数划分

问题描述：问题是我们经常见到的整数划分，给出两个整数 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 个乘号，将n分成m段，求出这m段的最大乘积

思路：其实和上边的题思路都差不多啦，都属于区间最优解的问题

状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*data[k+1][i])   k=(j~i)

ac代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <queue>using namespace std;char a[25];long long data[25][25];long long dp[25][25];int m;int main(){    int t;    cin>>t;    while(t--)    {        scanf("%s%d",a,&m);        m--;//可以在最后一位后边加上一个乘号，先减去        int len=strlen(a);        memset(data,0,sizeof(data));        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int i=0;i<len;i++)        {            for(int j=i;j<len;j++)            {                data[i][j]=data[i][j-1]*10+(a[j]-'0');            }        }        for(int i=0;i<len;i++)        dp[i][0]=data[0][i];        for(int i=0;i<len;i++)        {            for(int j=1;j<=i;j++)            {                for(int k=j;k<i;k++)                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*data[k+1][i]);            }        }        cout<<dp[len-1][m]<<endl;    }    return 0;}

好像全是区间最优解的例子哎，等做到区间计数的时候再补充吧@^^@