5-2 二分搜索树基础

二分搜索树这个数据结构的提出，是自来于“查找表”或者说“字典”这种数据结构的。

实现查找表，可以通过“普通数组”“顺序数组”“二分搜索树”来实现。其中，最有效的方式就是实现二分搜索树。

图：普通数组、顺序数组、二分搜索树对查找、插入、删除元素的时间复杂度分析

对于上表的说明：

普通数组的插入操作：要先查找有没有这个元素，然后插入或者覆盖。

普通数组的删除操作：要先查找有没有这个元素，然后删除或者什么都不做。

顺序数组的查找操作：可以使用二分查找法，二分查找法的时间复杂度就是 O(logn)。

二分搜索树的特点

二分搜索树的最大特性是：高效。不仅可以用于查找数据，还可以高效地插入、删除。但是二分搜索树的重要意义还在于动态地维护数据（这一点和堆很像）。这一点要等待我们这一章学习完成以后细细地体会。

借助二分搜索树这个数据结构，我们可以轻松地实现以下函数：min、max、floor、ceil、rank、select。即二分搜索树还可以回答很多数据之间的关系的问题。

查一查：二分搜索树（Binary Search Tree）的定义
。

二叉搜索树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1、每个结点都有一个作为搜索依据的关键码（key），所有结点的关键码互不相同；

2、左子树（如果非空）上所有结点的关键码都小于根结点的关键码；

3、右子树（如果非空）上所有结点的关键码都大于根结点的关键码；

4、左子树和右子树也是二叉搜索树；

5、结点左子树上所有关键码小于结点关键码；

6、结点右子树上所有关键码大于结点关键码；

7、若从根结点到某个叶结点有一条路径，路径左边的结点的关键码不一定小于路径上的结点的关键码。

8、如果对一棵二叉搜索树进行中序遍历，可以按从小到大的顺序，将各结点关键码排列起来，所以也称二叉搜索树为二叉排序树。

每个节点的键值大于左孩子；
每个节点的键值小于右孩子；以左右孩子为根的子树仍为二分搜索树。

性质：

1、大于每一个左节点

2、小于每一个右节点

二分搜索树的定义的天然地包括了递归的思想。尤其，我们还要注意到，二分搜索树不一定是完全二叉树。

下面是一个二分搜索树的基本实现：

public class BST {    // 就一个根节点    private Node root;    private int count;    public BST(){       root = null;        count = 0;    }    public int size() {        return count;    }    public boolean isEmpty() {        return count == 0;    }    class Node {        private int key;        private int value;        private Node left;        private Node right;        public Node(int key, int value) {            this.key = key;            this.value = value;            this.left = null;            this.right = null;        }    }}