原地堆排序

  上一节讲的两种堆排序都需要开辟O(n)的辅助空间（构造函数中使用new分配的辅助空间），程序在开辟辅助空间和释放空间的时候也会消耗一定的时间，若能多数组进行原地堆排序，则省去了开辟和释放空间的时间，时间性能会好一些。

  给定一个大小为n的数组，将这个数组heapify，变为最大堆，此时数组的第一个元素就是最大值，将该值与数组最后一个元素交换位置后，对前n-1个元素进行heapify，变成最大堆，将第一个元素与数组倒数第二个元素交换位置...以此类推，最后得到的数组就是从小到大排序的。

  注意，上一节中堆排序堆的实现是从1开始，所以当前元素（下标 i）的双亲下标为 i/2，左孩子下标为 2i，右孩子下标为 2i+1；而原地堆排序中直接对数组进行操作，数组的下标是从0开始，所以当前元素（下标i）的双亲为 (i-1)/2，左孩子下标为 2i+1，右孩子下标为 2i+2。

  原地堆排序的C++实现如下：

  SortTestHelper.h文件（包含辅助函数）

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <ctime>  //clock()、CLOCKS_PER_SEC#include <cassert>  //包含函数assert()using namespace std;namespace SortTestHelper{    //辅助函数 - 随机产生一个数组    int* generateRandomArray(int n, int RangeL, int RangeR)  //返回数组首地址    {        //判断RangeL是否<=RangeR        assert(RangeL <= RangeR);  //参数为表达式，表达式为真时返回true，否则打印错误信息        int *arr = new int[n];        srand(time(0));        for(int i = 0; i < n ; i++)        {            arr[i] = rand() % (RangeR - RangeL + 1) + RangeL;  //使得产生的随机数在RangeL和RangeR之间        }        return arr;    }    //辅助函数 - 产生一个近乎有序的随机数组    int* generateNearlyOrderedArray(int n, int swapTime)    {        int *arr = new int[n];        for(int i = 0; i < n; i++)        {            arr[i] = i;  //先生成一个完全有序的数组        }        //然后交换几组元素，使之变成无序但近乎有序的数组        srand(time(0));        for(int j = 0; j < swapTime; j++)        {            //随机生成一个x位置和y位置            int posx = rand() % n;            int posy = rand() % n;            //交换x和y处的元素            swap(arr[posx], arr[posy]);        }        return arr;    }    //辅助数组 - 产生一个完全有序数组    int* generateTotallyOrderedArray(int n)    {        int *arr = new int[n];        for(int i = 0; i < n; i++)        {            arr[i] = i;        }        return arr;    }    //辅助函数 - 打印数组    template<typename T>    void printArray(T arr[], int n)    {        for(int i = 0; i < n; i++)        {            cout << arr[i] << " ";        }        cout << endl;    }    //辅助函数 - 判断数组是否有序（升序）    template<typename T>    bool isSorted(T arr[], int n)    {        for(int i = 0; i < n - 1; i++)        {            if(arr[i] > arr[i + 1])            {                return false;            }        }        return true;    }    //辅助函数 - 测试算法的时间    template<typename T>    void testSort(string sortname, void(*sort)(T[], int), T arr[], int n)  //arr[]和n是函数指针需要的参数    {        clock_t starttime = clock();        sort(arr, n);  //调用函数sort()        clock_t endtime = clock();        //判断排序是否成功        assert(isSorted(arr, n));  //若是数组无序，则assert会自动调用abort()退出程序，不会执行下面的语句        cout << sortname << " needs " << double(endtime - starttime) / CLOCKS_PER_SEC << "s." << endl;    }    //辅助函数 - 拷贝数组    int* copyIntArray(int a[], int n)    {        int *arr = new int[n];        //使用C++函数copy()        copy(a, a + n, arr);        return arr;    }}

  HeapSort.h文件（包含上一节所讲的两种空间复杂度为O(n)的堆排序算法）

#include <iostream>#include <cassert>#include <algorithm>#include <cstdlib>#include <ctime>using namespace std;template<typename Item>class MaxHeap{private:    Item *data;    int count;    int capacity;    void shiftUp(int k)    {        //凡是涉及到数组下标的，都要限定它不出界        /*while(k > 1 && data[k] > data[k / 2])        {            swap(data[k], data[k / 2]);            k /= 2;        }*/        //优化：用赋值取代交换        Item item = data[k];        while( k>1 && data[k/2] < item )        {            data[k] = data[k/2];            k /= 2;        }        data[k] = item;    }    void shiftDown(int k)    {        //当k有孩子的情况下开始shiftDown操作        /*while( 2*k <= count )        {            int j = 2*k;  //j就是要和data[k]交换的元素的位置下标            //判断是否有右孩子            if( j+1 <= count && data[j+1] > data[j] )            {                j = j + 1;            }            if(data[k] >= data[j])            {                break;            }            swap(data[k], data[j]);            k = j;        }*/        //优化：用赋值取代交换        Item item = data[k];        while( 2*k <= count )        {            int j = 2*k;            if(j + 1 <= count && data[j + 1] > data[j])            {                j = j + 1;            }            if(data[j] <= item)            {                break;            }            data[k] = data[j];            k = j;        }        data[k] = item;    }public:    MaxHeap(int capacity)    {        data = new Item[capacity + 1];  //从1号单元开始存放        count = 0;        this->capacity = capacity;    }    MaxHeap(Item arr[], int n)    {        count = n;        capacity = n;        data = new Item[n + 1];        for(int i = 1; i <= n; i++)        {            data[i] = arr[i - 1];        }        //将传入的数组整合成堆的样子        for(int i = count / 2; i >= 1; i--)        {            shiftDown(i);        }    }    ~MaxHeap()    {        delete[] data;    }    //返回堆现在的大小    int size() const    {        return count;    }    //判断堆是否为空堆    bool isEmpty() const    {        return count == 0;    }    //向堆中插入一个元素    void insert(Item item)    {        //判断count+1是否出界        assert(count + 1 <= capacity);        data[count + 1] = item;        count++;        //从count位置处开始向上调整堆        shiftUp(count);  //这个函数不需要被用户调用，所以设为私有    }    //取出堆中的一个元素（只能取出根结点）    Item extractMax()    {        //首先判断堆是否为空        assert(count > 0);        Item ret = data[1];        data[1] = data[count];        count--;        shiftDown(1);        return ret;    }    //打印堆中内容    void printData() const    {        for(int i = 1; i <= count; i++)        {            cout << data[i] << " ";        }        cout << endl;    }};template<typename T>void HeapSort1(T arr[], int n){    MaxHeap<T> maxheap = MaxHeap<T>(n);    for(int i = 0; i < n; i++)    {        maxheap.insert(arr[i]);    }    //从小到大排序    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)    {        arr[i] = maxheap.extractMax();    }}template<typename T>void HeapSort2(T arr[], int n){    MaxHeap<T> maxheap = MaxHeap<T>(arr, n);    //从小到大排序    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)    {        arr[i] = maxheap.extractMax();    }}

  main.cpp文件（包含这一节所讲的原地堆排序算法）

#include <iostream>#include "HeapSort.h"#include "SortTestHelper.h"using namespace std;//对arr[0...n-1]中的下标为k的元素进行shiftDown操作template<typename T>void __shiftDown(T arr[], int n, int k){    T v = arr[k];    while(2*k + 1 < n)  //有左孩子    {        int j = 2*k + 1;        if(j+1 < n && arr[j] < arr[j+1])  //有右孩子并且右孩子大于左孩子        {            j += 1;        }        if(arr[j] < v)        {            break;        }        arr[k] = arr[j];        k = j;    }    arr[k] = v;}//原地堆排序template<typename T>void HeapSort3(T arr[], int n){    //对数组arr[0...n-1]进行heapify    for(int i = (n-2)/2; i >= 0; i--)    {        __shiftDown(arr, n, i);    }    for(int i = n-1; i > 0; i--)    {        swap(arr[0], arr[i]);        __shiftDown(arr, i, 0);    }}int main(){    int n = 1000000;    //测试 - 随机序列    int *arr = SortTestHelper::generateRandomArray(n, 0, n);    int *arr2 = SortTestHelper::copyIntArray(arr, n);    int *arr3 = SortTestHelper::copyIntArray(arr, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort1", HeapSort1, arr, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort2", HeapSort2, arr2, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort3", HeapSort3, arr3, n);    cout << endl;    delete[] arr;    delete[] arr2;    delete[] arr3;    //测试 - 近乎有序序列    int swaptime = 100;    int *ar = SortTestHelper::generateNearlyOrderedArray(n, swaptime);    int *ar2 = SortTestHelper::copyIntArray(ar, n);    int *ar3 = SortTestHelper::copyIntArray(ar, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort1", HeapSort1, ar, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort2", HeapSort2, ar2, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort3", HeapSort3, ar3, n);    cout << endl;    delete[] ar;    delete[] ar2;    delete[] ar3;    //测试 - 重复键值序列    int *a = SortTestHelper::generateRandomArray(n, 0, 10);    int *a2 = SortTestHelper::copyIntArray(a, n);    int *a3 = SortTestHelper::copyIntArray(a, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort1", HeapSort1, a, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort2", HeapSort2, a2, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort3", HeapSort3, a3, n);    cout << endl;    delete[] a;    delete[] a2;    delete[] a3;    return 0;}

  测试结果：

HeapSort1 needs 0.3s.
HeapSort2 needs 0.293s.
HeapSort3 needs 0.288s.

HeapSort1 needs 0.26s.
HeapSort2 needs 0.173s.
HeapSort3 needs 0.169s.

HeapSort1 needs 0.186s.
HeapSort2 needs 0.181s.
HeapSort3 needs 0.179s.

  

  从测试结果中可以看出，不同测试用例中，原地堆排序都比HeapSort1和HeapSort2快一些，这正是由于省去了开辟堆空间和释放堆空间的时间。