2017 ACM-ICPC 亚洲区（西安赛区）网络赛 F. Trig Function （切比雪夫多项式）

题意：

思路：手算了几项，然后把n为6的那一行输到OEIS，就搜到了切比雪夫多项式。

切比雪夫多项式前几项为:

The triangle a(n,m) begins:

n\m  0   1  2    3     4    5     6     7      8    9   10

0:   1

1:   0  1

2:  -1  0   2

3:   0 -3   0    4

4:   1  0  -8    0     8

5:   0  5   0  -20     0   16

6:  -1  0  18    0   -48    0    32

7:   0 -7   0   56     0 -112     0    64

8:   1  0 -32    0   160    0  -256     0    128

9:   0  9   0 -120     0  432     0  -576      0  256

10: -1  0  50    0  -400    0  1120     0  -1280    0  512

然后百度第一类切比雪夫多项式是这个公式：

注意"!!"不是阶乘的阶乘，而是不超过n且与n具有相同奇偶性的所有正整数连乘积。

n分类讨论下,当n为偶数时m=2*k, n为奇数时m=2*k-1

还有注意下"!!"的约分,可能下面的比上面的大

代码：

[cpp] view plain copy

1. #include<bits/stdc++.h>  
2. using namespace std;  
3. typedef long long ll;  
4. const int maxn = 1e5+5;  
5. const int mod = 998244353;  
6. ll fac[maxn] = {1};  
7. ll n, m;  
8.   
9. void init()  
10. {  
11.     for(int i = 1; i < maxn; i++)  
12.         fac[i] = fac[i-1]*i%mod;  
13. }  
14.   
15. ll qmod(ll x, int q)  
16. {  
17.     ll res = 1;  
18.     while(q)  
19.     {  
20.         if(q%2) res = res*x%mod;  
21.         x = x*x%mod;  
22.         q /= 2;  
23.     }  
24.     return res;  
25. }  
26.   
27. int main(void)  
28. {  
29.     init();  
30.     while(~scanf("%lld%lld", &n, &m))  
31.     {  
32.         if(m > n) puts("0");  
33.         else if(n%2 && m%2 == 0) puts("0");  
34.         else if(n%2 == 0 && m%2) puts("0");  
35.         else  
36.         {  
37.             ll fz = n%mod;  
38.             if(m >= 1)  
39.             {  
40.                 for(int i = n-m+1; i <= n+m-1; i++)  
41.                 {  
42.                     if(i%2 == (n+m-2)%2)  
43.                     {  
44.                         fz = fz*i%mod;  
45.                     }  
46.                 }  
47.                 ll tmp = fz*qmod(fac[m], mod-2)%mod;  
48.                 if((n-m)/2%2) tmp = -tmp;  
49.                 printf("%lld\n", (tmp+mod)%mod);  
50.             }  
51.             else  
52.             {  
53.                 ll t = 1;  
54.                 for(int i = n+m-1; i <= n-m; i++)  
55.                 {  
56.                     if(i%2 == (n+m-2)%2)  
57.                         t = t*i%mod;  
58.                 }  
59.                 ll tmp = fz*qmod(fac[m], mod-2)%mod*qmod(t, mod-2)%mod;  
60.                 if((n-m)/2%2) tmp = -tmp;  
61.                 printf("%lld\n", (tmp+mod)%mod);  
62.             }  
63.         }  
64.     }  
65.     return 0;  
66. }  

The triangle a(n,m) begins:

n\m  0   1  2    3     4    5     6     7      8    9   10

0:   1

1:   0  1

2:  -1  0   2

3:   0 -3   0    4

4:   1  0  -8    0     8

5:   0  5   0  -20     0   16

6:  -1  0  18    0   -48    0    32

7:   0 -7   0   56     0 -112     0    64

8:   1  0 -32    0   160    0  -256     0    128

9:   0  9   0 -120     0  432     0  -576      0  256

10: -1  0  50    0  -400    0  1120     0  -1280    0  512