背包问题

本文主要是结合以下两篇文章的理解

http://blog.csdn.net/kangroger/article/details/38864689

http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810

问题：一个背包总容量为J(10)，现在有I(5)个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？

也就是说可考虑的范围为I个物品，容量为J时背包能达到最大价值F(i,j)。那么对于第i个考虑的物品，它就存在着是否包含在这容量为J的包里的问题。（被考虑后才决定自身是否存在）

所以存在下面的转换公式：

           F(i,j)=MAX{F(i-1,j),F(i-1,j-w[i])+v[i]}  ------以下图第九列为例（j=9假定固定）

(1)F(i-1,j):是指i被考虑后，最终并不存在于最后的包里，因为只需要前i-1个在包里，就能达到现在把i个考虑进去的效果，如下图中value=10，从只有考虑e,d到包括c，其价值都没变，对于此时的value，c可以不需要。

下图的说明：

a：第五个物品；...... e：第一个物品，这张表是至底向上，从左到右生成的。为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有考虑物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

nameweightvalue12345678910a26066991212151515b23033669991011c65000666661011d54000666661010e4600（e2）06666666

(2)F(i-1,j-w[i])+v[i]：是指只有当i被加到包里才能达到现在的效果，如上图10->15,a在前b,c,d,e基础上被考虑进去后，只有这第i个物品在包里，value值才能达到F(i,j)。那么在这种情况里，前i-1个物品的价值就应该扣除第i个物品所产生的效果的剩余部分:F(i-1，j-w[i])  ==》  F(5-1,9-w[5])  ==》 F(4，7)=9。

以上都是在考虑范围为（i,j）时，能够达到最大F(i,j)的可能，而两者中的最大者MAX符合。

以上是j固定的假设，其实j也是变化的，如公式，要得到F(i,j)必须由表格中的其他值来相加获得，最简单的办法就是把整个表格都求出来。

这个过程其实就是填充表格从左下到右上的逐渐递推，最后到F[I][J],即上图的15处（依据转换公式逐级...）

我们的目的是i=5,j=10,先将问题小化，从0，0开始（左下）》》i增加，j增加。

代码如下：

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1. #include<iostream>  
2. using namespace std;  
3. #define  V 1500  
4. unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0  
5. unsigned int weight[10];  
6. unsigned int value[10];  
7. #define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
8. int main()  
9. {  
10.       
11.     int N,M;  
12.     cin>>N;//物品个数  
13.     cin>>M;//背包容量  
14.     for (int i=1;i<=N; i++)  
15.     {  
16.         cin>>weight[i]>>value[i];  
17.     }  
18.     for (int i=1; i<=N; i++)  
19.         for (int j=1; j<=M; j++)  
20.         {  
21.             if (weight[i]<=j)  
22.             {  
23.                 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);  
24.             }  
25.             else  
26.                 f[i][j]=f[i-1][j];  
27.         }  
28.       
29.     cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解  
30.   
31. }  

因为这问题是先前大三下面试时遇到的（不会），现在的工作算法几乎也用不到，今天碰巧遇到，搁在心里难受，索性趁星期学习总结下，时间比较匆忙，但这是我目前对这个问题的最满意的理解，若有差错，请不吝赐教