5.2 stat.py

#!/usr/bin/python#  -*- coding:utf-8 -*-import numpy as npfrom scipy import statsimport mathimport matplotlib as mplimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom matplotlib import cmdef calc_statistics(x):    n = x.shape[0]  # 样本个数    # 手动计算    m = 0    m2 = 0    m3 = 0    m4 = 0    for t in x:        m += t        m2 += t*t        m3 += t**3        m4 += t**4    m /= n    m2 /= n    m3 /= n    m4 /= n    mu = m    sigma = np.sqrt(m2 - mu*mu)    skew = (m3 - 3*mu*m2 + 2*mu**3) / sigma**3    kurtosis = (m4 - 4*mu*m3 + 6*mu*mu*m2 - 4*mu**3*mu + mu**4) / sigma**4 - 3    print ('手动计算均值、标准差、偏度、峰度：', mu, sigma, skew, kurtosis)    # 使用系统函数验证    mu = np.mean(x, axis=0)    sigma = np.std(x, axis=0)    skew = stats.skew(x)    kurtosis = stats.kurtosis(x)    return mu, sigma, skew, kurtosisif __name__ == '__main__':    d = np.random.randn(100000)    print (d)    mu, sigma, skew, kurtosis = calc_statistics(d)    print ('函数库计算均值、标准差、偏度、峰度：', mu, sigma, skew, kurtosis)    # 一维直方图    mpl.rcParams[u'font.sans-serif'] = 'SimHei'    mpl.rcParams[u'axes.unicode_minus'] = False    y1, x1, dummy = plt.hist(d, bins=50, normed=True, color='g', alpha=0.75)    t = np.arange(x1.min(), x1.max(), 0.05)    y = np.exp(-t**2 / 2) / math.sqrt(2*math.pi)    plt.plot(t, y, 'r-', lw=2)    plt.title(u'高斯分布，样本个数：%d' % d.shape[0])    plt.grid(True)    plt.show()    d = np.random.randn(100000, 2)    mu, sigma, skew, kurtosis = calc_statistics(d)    print ('函数库计算均值、标准差、偏度、峰度：', mu, sigma, skew, kurtosis)    # 二维图像    N = 30    density, edges = np.histogramdd(d, bins=[N, N])    print ('样本总数：', np.sum(density))    density /= density.max()    x = y = np.arange(N)    t = np.meshgrid(x, y)    fig = plt.figure(facecolor='w')    ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')    ax.scatter(t[0], t[1], density, c='r', s=15*density, marker='o', depthshade=True)    ax.plot_surface(t[0], t[1], density, cmap=cm.Accent, rstride=2, cstride=2, alpha=0.9, lw=0.75)    ax.set_xlabel(u'X')    ax.set_ylabel(u'Y')    ax.set_zlabel(u'Z')    plt.title(u'二元高斯分布，样本个数：%d' % d.shape[0], fontsize=20)    plt.tight_layout(0.1)    plt.show()

输出：

[-0.9447748   2.05723148  1.97935487 ..., -0.10145314  0.55822039  1.02833672]手动计算均值、标准差、偏度、峰度： 0.0039904845837 1.00298610472 0.0038894292794 -0.0130948132278函数库计算均值、标准差、偏度、峰度： 0.0039904845837 1.00298610472 0.0038894292794037777 -0.01309481322786521

相关知识：
偏度：衡量随机变量概率分布的不对称性，是相对于均值不对称程度的度量
偏度可以为0，可以为正、负
偏度为负表示概率密度函数在左侧的尾部比右侧的长，为正则右侧尾部比左侧长

偏度为零表示数值相对均匀分布在平均值的两侧，但不一定意味着一定是对称分布
γ1=E [ (X−μσ)3 ] =E[(X−μ)3](E[(X−μ)2])3╱2=κ3κ3╱22γ1=E [ (X−μσ)3 ] =E[X3]−3μE[X2]+2μ2σ3=E[X3]−3μσ2−μ3σ3

峰度μ4σ4:
峰度是概率密度函数在均值出峰值高低的特征，通常定义四阶中心矩除以方差的平方减去3。
γ2=κ4κ22=μ4σ4−3=1n∑i=1n(Xi−X¯)4(1n∑i=1n(Xi−X¯)2)2−3