最长递增子序列

对于这个问题分别写了两种实现方法，一种为n2，一种为n*log(n)，由于能力有限暂时还无法在n*log(n)时间里找出这个最短序列。

n2：一个简单的dp的问题；

n*log（n）：

• 建立一个辅助数组array，依次读取数组元素 x 与数组末尾元素 top比较： 
  
  • 如果 x > top，将 x 放到数组末尾；
  • 如果 x < top，则二分查找数组中第一个 大于等于x 的数，并用 x 替换它。

遍历结束之后，最长递增序列长度即为栈的大小。

注意c数组的下标代表的是子序列的长度，c数组中的值也是按递增顺序排列的。这才可能用二分查找。

数组array[i]存储的是子序列长度为i的序列最后一个值（该值是该子序列中最大的元素；如果长度为i的序列有多个，那么array[i]存放这类序列最后元素中的最小一个）。

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#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<queue>#include<cmath>#include<vector>#include<stack>#include<map>#include<string>#include<set>#include<list>#include<functional>#include<stdlib.h>#define INF 0x3f3f3f3f#define mem(a,n) memset(a,n,sizeof(n))#define PI 3.1415926using namespace std;typedef long long ll;const int mod=1e9+7;ll inv(ll b){return b==1?1:(mod-mod/b)*inv(mod%b)%mod;}void longest_increasing_subsequence1(){int a[1005],n,maxx,dp[1005];scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);dp[i]=1;}maxx=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j])//不要求完全递增可改为>= dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);}maxx=max(maxx,dp[i]);}printf("%d\n",maxx);}void longest_increasing_subsequence2(){/*例一：原序列为1，5，8，3，6，7 辅助数组为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。例二：原序列为1，5，8，3 则最栈辅助数组为1，3，8。明显这不是最长递增子序列！*/int a[1005],n,maxx;vector<int> array;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}for(int i=1;i<=n;i++){if(array.size()==0||array.back()<a[i]){array.push_back(a[i]);}//else{int low=0,high=array.size()-1;int mid;while(low<high){mid=(low+high)/2;if(a[i]>array[mid])low=mid+1;elsehigh=mid-1;}array[low]=a[i];}}printf("%d ",array.size());}int main(){longest_increasing_subsequence1();//n2longest_increasing_subsequence2();//n*log(n)return 0; }