NOIP2017提高组 模拟赛17（总结）

NOIP2017提高组 模拟赛17（总结）

第一题 蛋糕 （卡特兰数）

【题目描述】

【解题思路】

　　其实就是求卡特兰数的第n-2位。
　　为什么？
　　把多边形拆分，得到：

　　f[n]=∑nk=1f[n−k]∗f[k−1]　　就是卡特兰数。
　　递推式的解为f[n]=Cn2n−Cn+12n
　　也就是f[n]=Cn2nn+1
　　所以只需快速的求出(n+2)×(n+3)×……×2n1×2×……×n
　　P不是质数，求不了逆元。
　　一个暴力的做法是对于每一个数，分解质因数（显然超时）
　　那么，我们只需要n！的最终值，并不关心过程。
　　用质数去筛。
　　2^1的有2,4,6,8,10……（n/2个）
　　2^2的有4,8,12,16……（n/4个）
　　2^3的有8,16,24……（n/8个）
　　……
　　所以（h[i]表示第i个质数出现的次数，v为1表示乘，-1表示除）

　　for(int i=1;i<=pi;i++)    {        ll d=pr[i];        for(;d<=x;d*=pr[i])        {            h[i]+=(x/d)*v;        }    }

　　再用快速幂瞎搞就好了。

【代码】

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int N=1e7+10;bool inp[N<<1];int pi,f[N];ll pr[N],ans,pp,n;void make(){    inp[1]=1;    for(ll i=2;i<=(n<<1);i++)    {        if(!inp[i]) pr[++pi]=i;        for(int j=1;j<=pi && i*pr[j]<=(n<<1);j++)        {            inp[pr[j]*i]=1;            if(!(i%pr[j])) break;        }    }}void add(int x,int v){    for(int i=1;i<=pi;i++)    {        ll d=pr[i];        for(;d<=x;d*=pr[i])        {            f[i]+=(x/d)*v;        }    }}ll Pow(ll x,int y){    ll yu=x,ss=1ll;    for(;y;y>>=1,yu=yu*yu%pp)    if(y&1) ss=ss*yu%pp;    return ss;}int main(){    freopen("2009.in","r",stdin);    freopen("2009.out","w",stdout);    scanf("%lld%lld",&n,&pp);    n-=2;    make();    add((n<<1),1);    add(n+1,-1); add(n,-1);    ans=1ll;    for(int i=1;i<=pi;i++) ans=ans*Pow(pr[i],f[i])%pp;    printf("%lld\n",ans);    return 0;}

第二题 解密

【题目描述】

【解题思路】

KMP
　　len≤5000？O(n^2)算法？暴力KMP！
　　①先按s1的1~len_s1构出next[]
　　s1去匹配s2，得到以1为首，i为尾的字符串在s2中出现的次数。
　　判断是否在s1，s2中均只出现一次。
　　②再按s1的2~len_s1构出next[]
　　s1去匹配s2，得到以2为首，i为尾的字符串在s2中出现的次数。
　　判断是否在s1，s2中均只出现一次。
　　以此类推，时间复杂度O(n^2)
　　实现较为复杂。
SAM
　　还有一种更好的实现方法（%tututu）
　　在SAM中，某个串出现的次数为该串所属状态的Right集大小（by tututu）。
　　建一个广义的sam，判断串的min和max就行了（min=dep[pre[i]]+1,max=dep[i]）。

【代码】

//KMP#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdio>#define imax(a,b) ((a>b)?(a):(b))#define imin(a,b) ((a<b)?(a):(b))using namespace std;const int N=5010;char sd[N],*st,sg[N];int n,m,ans,g1,g2;int ne[N],f[N];int bigne[N];bool see[N][N];int main(){    freopen("2010.in","r",stdin);    freopen("2010.out","w",stdout);    scanf("%s",sd);    scanf("%s",sg);    n=strlen(sd); st=sd;    int nt=n; m=strlen(sg);    g1=1e9; g2=-1;    for(int w=1;w<=nt;w++)    {        ne[0]=ne[1]=0; int k=0;        for(int i=2;i<=n;i++)        {            while(k>0 && st[i-1]!=st[k]) k=ne[k];            if(st[i-1]==st[k]) k++;            ne[i]=k; bigne[i+w-1]=imax(bigne[i+w-1],ne[i]);            bigne[w+ne[i]-1]=imax(bigne[w+ne[i]-1],ne[i]);        }        k=0;        for(int i=1;i<=m;i++)        {            while(k>0 && sg[i-1]!=st[k]) k=ne[k];            if(sg[i-1]==st[k]) k++;            if(k)            {                f[w+k-1]++;                f[w+ne[k]-1]++;            }        }        for(int i=1;i<=nt;i++)        {            if(f[i]==1) see[w][i]=1;        }        for(int i=1;i<=m;i++) f[i]=0;        st=st+1; n--;    }    for(int i=1;i<=nt;i++)    for(int j=1;j<=nt;j++)    if(see[i][j] && bigne[j]<=j-i)    {        g1=imin(g1,j-i+1);        g2=imax(g2,j-i+1);    }    printf("%d %d\n",(g1!=1e9)?(g1):(-1),(g2!=-1)?(g2):(-1));    return 0;}

//SAM#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))#define imax(a,b) ((a>b)?(a):(b))#define imin(a,b) ((a<b)?(a):(b))using namespace std;const int N=105010;char sd[N];int r[N][2],dep[N],last,cnt,son[N][26],pre[N];struct data { int d,id; } B[N];int ans1,ans2;void insert(int x,int ops){    dep[++cnt]=dep[last]+1;    int np=cnt,p=last;    last=cnt;    r[np][ops]=1;    for(;!son[p][x];p=pre[p]) son[p][x]=np;    if(!p) pre[np]=1; else    {        int q=son[p][x];        if(dep[q]==dep[p]+1) pre[np]=q; else        {            dep[++cnt]=dep[p]+1;            int nq=cnt;            mmcp(son[nq],son[q]);            pre[nq]=pre[q];            pre[q]=pre[np]=nq;            for(;son[p][x]==q;p=pre[p]) son[p][x]=nq;        }    }}bool cmp(data A,data B) { return (A.d<B.d); }int main(){    freopen("2010.in","r",stdin);    freopen("2010.out","w",stdout);    scanf("%s",sd);    last=cnt=1; int len=strlen(sd);    for(int i=1;i<=len;i++) insert(sd[i-1]-'a',0);    scanf("%s",sd);    last=1; len=strlen(sd);    for(int i=1;i<=len;i++) insert(sd[i-1]-'a',1);    for(int i=1;i<=cnt;i++) B[i].id=i,B[i].d=dep[i];    sort(B+1,B+1+cnt,cmp);    ans1=12345678;    for(int i=cnt;i>=1;i--)    {        r[pre[B[i].id]][0]+=r[B[i].id][0];        r[pre[B[i].id]][1]+=r[B[i].id][1];    }    for(int i=2;i<=cnt;i++)    if(r[i][0]==1 && r[i][1]==1)    {        ans1=imin(ans1,dep[pre[i]]+1);        ans2=imax(ans2,dep[i]);    }    if(ans1==12345678) printf("-1 -1\n"); else printf("%d %d\n",ans1,ans2);    return 0;}

第三题 漏洞

【题目描述】

【解题思路】

　　线段树。
　　对于线段树【L，R】，记lz[i]为当前数字i变成了lz[i]，s[i]为数字i的权值（例如400,140,40000则s[4]=100+10+10000=10110）
　　down转移时，从儿子更新，可以优化到10倍常数。（从父亲更新到儿子是100倍常数）
　　例如，son.lz[2]=4,fa.lz[4]=5则son.lz[2]=5。（具体看代码的down操作）

【代码】

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int N=100500;struct data{    ll s[14];    int lz[14];} tree[N<<2];int n,m,vis[14];ll sr[14],sd[14],d[N];void up(int ro){    for(int i=0;i<=9;i++) tree[ro].s[i]=tree[ro<<1].s[i]+tree[ro<<1|1].s[i];}/*void down(int ro,int L,int R){    if(L==R) return;    for(int i=0;i<=9;i++) vis[i]=tree[ro<<1].lz[i],sd[i]=tree[ro<<1].s[i];    for(int i=0;i<=9;i++)    {        if(tree[ro].lz[i]!=i)        {            for(int k=0;k<=9;k++)            if(tree[ro<<1].lz[k]==i) vis[k]=tree[ro].lz[i];            sd[tree[ro].lz[i]]+=tree[ro<<1].s[i];            sd[i]-=tree[ro<<1].s[i];        }    }    for(int i=0;i<=9;i++) tree[ro<<1].lz[i]=vis[i],tree[ro<<1].s[i]=sd[i];    for(int i=0;i<=9;i++) vis[i]=tree[ro<<1|1].lz[i],sd[i]=tree[ro<<1|1].s[i];    for(int i=0;i<=9;i++)    {        if(tree[ro].lz[i]!=i)        {            for(int k=0;k<=9;k++)            if(tree[ro<<1|1].lz[k]==i) vis[k]=tree[ro].lz[i];            sd[tree[ro].lz[i]]+=tree[ro<<1|1].s[i];            sd[i]-=tree[ro<<1|1].s[i];        }    }    for(int i=0;i<=9;i++) tree[ro<<1|1].lz[i]=vis[i],tree[ro<<1|1].s[i]=sd[i];    for(int i=0;i<=9;i++) tree[ro].lz[i]=i;}*/void down(int ro,int L,int R){    if(L==R) return;    for(int i=0;i<=9;i++) vis[i]=tree[ro<<1].lz[i],sd[i]=tree[ro<<1].s[i];    for(int i=0;i<=9;i++)    {        if(tree[ro].lz[i]!=i)        {            sd[tree[ro].lz[i]]+=tree[ro<<1].s[i];            sd[i]-=tree[ro<<1].s[i];        }    }    for(int i=0;i<=9;i++)    {        int now=tree[ro<<1].lz[i];        vis[i]=tree[ro].lz[now];    }    for(int i=0;i<=9;i++) tree[ro<<1].lz[i]=vis[i],tree[ro<<1].s[i]=sd[i];    for(int i=0;i<=9;i++) vis[i]=tree[ro<<1|1].lz[i],sd[i]=tree[ro<<1|1].s[i];    for(int i=0;i<=9;i++)    {        if(tree[ro].lz[i]!=i)        {            sd[tree[ro].lz[i]]+=tree[ro<<1|1].s[i];            sd[i]-=tree[ro<<1|1].s[i];        }    }    for(int i=0;i<=9;i++)    {        int now=tree[ro<<1|1].lz[i];        vis[i]=tree[ro].lz[now];    }    for(int i=0;i<=9;i++) tree[ro<<1|1].lz[i]=vis[i],tree[ro<<1|1].s[i]=sd[i];    for(int i=0;i<=9;i++) tree[ro].lz[i]=i;}void build(int ro,int L,int R){    for(int i=0;i<=9;i++) tree[ro].lz[i]=i;    if(L==R)    {        int yu=d[L],u=0;        for(int i=0;i<=9;i++) tree[ro].s[i]=0;        for(int u=0;yu;yu/=10,u++) tree[ro].s[yu%10]+=sr[u];        return;    }    int Mid=(L+R)>>1;    build(ro<<1,L,Mid); build(ro<<1|1,Mid+1,R);    up(ro);}void update(int ro,int L,int R,int li,int ri,int ad,int bd){    if(li>R || L>ri) return;    if(li<=L && R<=ri)    {        for(int i=0;i<=9;i++)        if(tree[ro].lz[i]==ad)        {            tree[ro].lz[i]=bd;            tree[ro].s[bd]+=tree[ro].s[ad];            tree[ro].s[ad]=0;        }        return;    }    down(ro,L,R);    int Mid=(L+R)>>1;    update(ro<<1,L,Mid,li,ri,ad,bd); update(ro<<1|1,Mid+1,R,li,ri,ad,bd);    up(ro);}ll query(int ro,int L,int R,int li,int ri){    if(li>R || L>ri) return 0ll;    if(li<=L && R<=ri)    {        ll yu=0ll;        for(int i=1;i<=9;i++) yu+=(1ll*i*tree[ro].s[i]);        return yu;    }    int Mid=(L+R)>>1;    down(ro,L,R);    return (query(ro<<1,L,Mid,li,ri)+query(ro<<1|1,Mid+1,R,li,ri));}int main(){    freopen("2011.in","r",stdin);    freopen("2011.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&n,&m);    sr[0]=1ll;    for(int i=1;i<=13;i++) sr[i]=sr[i-1]*10;    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&d[i]);    build(1,1,n);    while(m--)    {        int w,a,b,ad,bd;        scanf("%d",&w);        if(w==1)        {            scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&ad,&bd);            if(ad==bd) continue;            update(1,1,n,a,b,ad,bd);        } else        if(w==2)        {            scanf("%d%d",&a,&b);            printf("%lld\n",query(1,1,n,a,b));        }    }    return 0;}