JZOJ 5371. 【NOIP2017提高A组模拟9.17】组合数问题

Description

定义＂组合数＂S(n,m)代表将n 个不同的元素拆分成m 个非空集合的方案数．举个例子，将{1,2,3}拆分成2 个集合有({1},{2,3}),({2},{1,3}),({3},{1,2})三种拆分方法．小猫想知道，如果给定n,m 和k,对于所有的0<=i<=n,0<=j<=min(i,m),有多少对(i,j),满足S(i,j)是k 的倍数．注意，0 也是k 的倍数,S(0,0)=1,对于i>=1,S(i,0)=0．

Input

从problem.in 种读入数据第一行有两个整数t,k,t 代表该测试点总共有多少组测试数据.接下来t 行,每行两个整数n,m.

Output

输出到文件problem.out 中t 行,每行一个整数代表所有的0<=i<=n,0<=j<=min(i,m),有多少对(i,j),满足S(i,j)是k 的倍数.

Sample Input

输入1：

1 2
3 3

输入2：2 54 56 7

Sample Output

输出1：

3

样例说明1：S(1,0),S(2,0),S(3,0)均是2 的倍数

输出2：

4
12

Data Constraint

对于20%的数据,满足n,m<=7,k<=5
对于60%的数据,满足n,m<=100,k<=10
对于每个子任务,都有50%的数据满足t=1
对于100%的数据,满足1<=n<=2000,1<=m<=2000,2<=k<=21,1<=t<=10000

Solution

• 首先，我们要先算出“组合数”的 S(n,m) ，

• 设 F[i][j] 表示：要放了前 i 个数、已经放入 j 个集合的方案数。

• 那么这第 i 个数显然可以：①新开一个集合；②放入之前那 j 个集合中。

• 于是递推转移如下：

  F[i][j]=F[i−1][j]∗j+F[i−1][j−1]

• 为了统计出这个值是否是 k 的倍数，于是我们将每个 F[i][j] 都模上 k ，若等于零则说明是：

  F[i][j]=(F[i−1][j]∗j+F[i−1][j−1]) mod k

• 所以统计出 F 数组的前缀和，就可以 O(1) 回答询问了。

Code

#include<cstdio>using namespace std;const int N=2001;int f[N][N],g[N][N];inline int read(){    int X=0,w=1; char ch=0;    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();    return X*w;}int main(){    int t=read(),k=read();    for(int i=f[0][0]=1;i<N;i++)        for(int j=1;j<=i;j++)            f[i][j]=(f[i-1][j]*j+f[i-1][j-1])%k;    for(int i=g[0][0]=1;i<N;i++)        for(int j=0,sum=0;j<N;j++)        {            if(j<=i) sum+=!f[i][j];            g[i][j]=g[i-1][j]+sum;        }    while(t--)    {        int x=read(),y=read();        printf("%d\n",g[x][y]);    }    return 0;}