查找

查找：

• 性能主要取决于键比较的次数
• 平均次数：所有可能的（按照程序中的所有分支情况）键比较次数除以元素个数
• 顺序查找
• 插值查找：类似于查字典
• 二分查找
  
  • 计算范围的中间位置，根据比较结果逐渐缩小范围
  • 注意循环和停止的条件
  • 方法1：无论是否找到都继续缩小范围

//每次进行1次比较if( data<target ) bottom=position+1;//起始位置else top=position-1;//结束位置

• n=10
  方法1查找树（P237）的1半树叶对应成功的查找，另1半对应失败的查找。外部路径长度恰好为总的比较次数。成功/不成功的查找次数都为4.4（n=10时）。

• 一般情况
  根据方法1查找树，所有的树叶（由于方法1最后只剩下1个元素，相等则成功，不相等则失败，所以成功/不成功的树叶都为n个）都在相同/相邻的层上，比较次数最多相差1次。

  由于每次只能选择1种情况，即在树的每层只能遍历1次，所以树的高度（层数）即为平均的（成功/不成功）查找次数lgn，最坏情况为lgn+1。

• 方法2：找到结果后停止搜索

//每次进行2次比较if( data==target ) return success;if( data<target ) bottom=position+1;else top=position-1;

• n=10

  • 方法2查找树（P238）的所有树叶都对应于不成功的查找。内部路径长度刚好对应第2项比较的次数19次。由于还需要计算第1项比较的次数，需要在计算内部路径长度每项的基础上加1（每经过一个节点都会有1次成功相等的判断），结果为29次。所以平均的成功次数为4.8；
  • 外部路径长度为39，对应第2项比较的次数。由于当比较结果不相等时，还需要继续比较，所以29不能作为第1项比较的次数。根据P238图7.4的圆圈中的示意图，在考虑第1项的情况下，外部路径比较刚好比原路径增长了1倍（由于现在进行的是不成功的比较，所以每次递归的2次比较都会进行）。由于n个元素有n+1个空缺（不成功的情况），所以平均的不成功次数为7.1。

• 一般情况

  • 由于树叶的个数为n+1个，所以有h≈lg(n+1).因为每个节点进行2次比较，所以不成功的平均比较次数为2lg(n+1)
  • 由上知到树叶的距离为lg(n+1)，且树叶的数目为n+1，所以E=(n+1)lg(n+1)，根据E=I+2q可知I=(n+1)lg(n+1)-2n。所以成功的平均比较次数l/n*2-1（先算2次比较再减去最后1次相等后无需再进行大小比较）

总结：

1. 当n比较大时，n与n+1、lgn和lg(n+1)的差距可以忽略不计。随着n的增加，有越来越多的结点会出现在底层。由于顶层的结点远小于底层，会有越来越多的顶点不能在顶层终止。
2. 因为二分查找的循环次数lgn少于顺序查找的循环次数n，所以n比较大时，二分查找的速度远快于顺序查找。
3. 对于2-树，为了减少树的高度（循环次数），将相差2层以上 的树叶分到上层树叶的子节点。
4. 注意区分算法在小型问题和大型问题运行的效率。