【小波分析】学习笔记(二):傅里叶变换和短期傅里叶变换
来源:互联网 发布:光猫 lan端口绑定 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 18:51
基本法则
我们需要小波变换来进行非平稳信号(如,信号频率随时间改变)。已经明确说明傅里叶变换不适合非平稳信号。为了更好地回顾,给出如下例子 :
假定有两个不同的信号,且他们具有相同的波谱构成,它们之间只有一个主要的区别:一个信号在同一时间具有所有的频率,另一个信号在四个不同时段分别包含这四个频率的其中一个。虽然这两个信号完全不同,但是这两个信号的傅里叶变换一样。这个例子向我们证明了,傅里叶变换不适合非平稳信号。
傅里叶变换
这里不会很细致地讲解傅里叶变换,原因有两点:
- 对于这个教程来数,傅里叶变换的范围太广;
- 傅里叶变换不是我们关心的主要问题。
然而,需要讲解傅里叶变换有两个重要的原因:
- 傅里叶变换是理解小波变换的一个重要基础;
- 到目前为止,傅里叶变换是应用了很多年的变换方法。
1822年,法国数学家
下面讲解傅里叶变换是如何运作的:
傅里叶变换将信号分解为不同频率的复指数函数。其具体操作,是通过如下两个等式:
其中,
仔细观察等式(1),在一定的频率下,信号
等式(1)中的指数项也可以表示成如下形式:
上述表达式中的实部是频率
了解这种
重点:积分所提供的信息与所有的时间实例相对应,因为积分范围是从正无穷到负无穷的所有时间。因此,无论频率分量出现于何时何地,它都会影响积分的结果。换句话说,无论频率分量时出现于
值得注意的一点是,傅里叶变换可以告诉我们某个频率分量是否存在。这一信息是独立于实现存在的。因此,在进行傅里叶变换前,了解信号是否是平稳信号很重要。
下图中,给出了这样一个信号:
也就是说,这个信号包含有四个频率分量:5/10/20/50
下面是它的傅里叶变换。频率轴被截掉一部分,但是理论上来说频率轴应延伸到无限远。事实上,这里我们计算离散傅里叶变换,在这种情况下,频率轴至少上升到频率采样值的两倍,且转换信号是对称的,但是现在来说,这并不重要。
上图中的四个峰对应四个不同的频率。
再看下图,这个信号也是一个余弦信号,它也一样具有四种不同的频率。然而,这些频率在不同的时刻出现。
下面给出这个信号的傅里叶变换:
这四个主要的峰非标频率5/10/20/50
到目前为止,你应该理解了傅里叶变换的基础概念,以及傅里叶变换在何种情况下使用合适。我们可以从例子中看到,傅里叶变换不能很好的区分两种信号。对于傅里叶变换来说,这两种信号是一样的,因为它们中包含着相同的频率分量。因此,傅里叶变换在分析非平稳信号时不是一个很好的工具。
短期傅里叶变换
我们可以假设,非平稳信号中有平稳的部分。
如果信号中可以被假定为平稳的区域很小,我们可以将其区域视为窄窗。
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