CCF 201709-04

前两天刚考完CCF，因为最新的题目还没有出来，但是大概题意是这样的。给你一个有向图，如果有一点v，从该点可以到达其他点或者从其他点可以到达v点包含了图中其他所有点，那么就符合题意，要找出这些点的个数。
比如说下面这个输入
4 4
1 2
2 4
1 3
3 4
第一行是点的个数和边的个数，下面m行是有向边。那么对于这个图来讲有两个符合题意的点，分别是1和4.因为有两条路径1->2->4和1->3->4，其中1可以到达2 3 4，二1 2 3都可以到达4。
考试的时候看到这道题毫无思路，想了各种遍历的方法，最终对每一个点做了一次BFS，记录其可以到达的点，再对这个集合进行操作，找到可以到达这些点的点，最后判断集合大小是否为n（有个同学做了两次BFS，更是666），这复杂度肯定要炸啊，果不其然，最后只拿到了15分。
但是，后来同学提醒这道题用离散数学里面的传递闭包来做十分简单。我们知道关系是可以用图来表示的，那么反过来图一定可以用关系来搞定。这个从a点是否能到c点不就是一个传递关系么，假设存在一个点b，使得有(a,b)和(b,c)两条路径，那就一定有(a,c)这条路径。那么现在问题就转换成了求这些关系的传递闭包，然后统计最终传递闭包中有多少满足要求的（这里图需要用邻接矩阵表示）。
这里给出一个定理：
设R* = MR V MR^2 V … MR^n
MR^2表示矩阵MR的2次布尔幂。（具体证明我们不给出，有兴趣的可以查看关于传递闭包的相关内容，也可以参考《离散数学及其应用》第七版504页相关内容。
那么我们就可以计算出MR的布尔幂，然后对其进行合并得到最终的传递闭包，在传递闭包中无论是存在(a,b)还是(b,a)路径都是可以的，所以我们最后在统计节点i的时候需要考虑res[i][j]和res[j]i。以下是具体实现代码（由于题目还没有给出，未进行大量测试。并且这是直接采用计算传递闭包的方式，复杂度为O(n^4)，采用沃舍尔算法可以将其降到O(n^3),等到题目公布时，会给出沃舍尔算法实现。）
另外，在我的github上更新了我写的一些ccf认证题目，如果有需要的朋友可以去看一下，发现什么问题，可以联系我。

import java.util.Scanner;public class Number{    public static void main(String[] args) {        Scanner sc = new Scanner(System.in);        int n = sc.nextInt();        matrix m = new matrix(n);        //get the input        for(int i = 0;i < n;i ++){            int x = sc.nextInt(),y = sc.nextInt();            m.set(1,x,y);        }        matrix m1 = new matrix(m.get());        matrix res = new matrix(m.get());        //compute the transtive closures        for(int i = 0;i < n;i ++){            m1 = new matrix(m1.booleanMulti(m.get()));            res = new matrix(res.union(m1.get()));        }        System.out.println(res.give());    }}class matrix{    int m[][];    matrix(int n){        m = new int[n][n];    }    matrix(int[][] m){        this.m = m;    }    public void set(int i,int x,int y){        m[x -1 ][y - 1] = i;    }    public int[][] get(){        return this.m;    }    //compute the boolean product of m1 and m2    public int[][] booleanMulti(int[][] m1){        int len = m1.length;        int[][] res = new int[len][len];        for (int i = 0;i < len;i ++) {            for(int j = 0;j < len;j ++){                for(int k = 0;k < len;k ++){                    if(m1[i][k] == 1 && m[k][j] == 1){                        res[i][j] = 1;                        break;                    }                }            }        }        return res;    }    //compute the union matrix of two matrix    public int[][] union(int[][] m1){        int len = m1.length;        int[][] res = new int[len][len];        for (int i = 0;i < len;i ++) {            for(int j = 0;j < len;j ++){                res[i][j] = m1[i][j] == 1 || m[i][j] == 1 ? 1 : 0;            }        }        return res;    }    //give the number of lines that are all 1    public int give(){        int res = 0;        for(int i = 0;i < m.length;i ++){            boolean flag = true;            for(int j = 0;j < m[0].length;j ++){                if(i == j) {                    continue;                }                if(m[i][j] == 0 && m[j][i] == 0){                    flag = false;                    break;                }            }            if(flag){                res ++;            }        }        return res;    }}