树的基本操作(一)

一丶树的高度：给定一个二叉树的根节点，返回该二叉树的高度

        图1-1树的结构示例

树的高度定义为树的根节点到最叶子节点的最长路径，在上图1-1所示的树结构中，最长路径是1-3-6-7，该路径有四个节点，所以树的高度为4。在上述的定义下，在利用代码求解树的高度过程中，特别是在一个树的结构非常复杂的时候，直接求解树的最长路径是比较复杂的。

但是我们不难发现一个特点，当树的结构十分简单的时候，比如仅有一个节点的时候，依据定义，那么该树的高度是1。所以将一个结构复杂的树的高度求解问题，转换成结构简单的树的高度求解问题是努力的方向，像这种缩小问题规模，状态转移的思路，可以利用动态规划的算法实现，对于动态规划算法而言，寻找一个合适的状态转移方程是解决问题的关键。

                                                                                     

                                                     图1-2左子树                               图1-3右子树

以图1-1为例子，该树的高度是不难看出是4，图1-2是其的左子树，其高度不难看出是2，图1-3是其的右子树，其高度不难看出是3。

如果仔细的思考下，不难的得出如下状态转移关系：

树的高度 = max（左子树高度，右子树高度）+1；                            

图1-2和图1-3代表的左右子树，可以利用该状态转移关系，一直计算下去，直到最后缩小成只有一个节点的子树。下图是java代码的实现，利用尾递归的方式来实现该状态转移方程。

public int getHeight(TreeNode root){if(root==null){return 0;}return Math.max(root.left,root.right)+1;}

二.树的平衡性判断：给定一个二叉树的根节点，如何判断该二叉树是不是平衡二叉树树

平衡二叉树，是二叉树结构的一种特殊的形态，它定义该二叉树的各个节点的左右子树的高度相差不超过1。

                                                

                     图2-1 非平衡二叉树                                                                        图2-2 平衡二叉树

对于图2-1所示的二叉树而言，其不是平衡二叉树，虽然根节点的左右子树的高度相差不超过1，但是节点3的左右子树的高度不满足要求。图2-2所示的二叉树就是平衡二叉树，其各个节点都满足平衡性要求。

在熟悉了平衡二叉树的定义后，我们知道一个平衡二叉树，不仅是根节点需要满足平衡性要求，其各个子节点都需要满足平衡性需求，这是一个递归的定义。

从上，可以归纳出判断一颗二叉树是否是平衡二叉树的思路如下：

1.判断root==null，空节点默认是平衡二叉树，为空返回true，非空跳到步骤2。

2.root！=null，判断左子树root.left高度，和右子树root.right高度：如果不满足平衡性返回true，如果满足则递归判断左子树和右子树是否同样满足平衡性。

判断平衡性的java实现代码如下：

public void boolean isBalanced(TreeNodenode){      if(node==null) return true;      if(Math.abs(getHeight(node.left)-getHeight(node.left))>1)           return false;      return isBalanced(node.left)&&isBalaced(node.right);}