算法导论习题 6-3 Young氏矩阵

来源：互联网发布：mac删除应用程序还在编辑：程序博客网时间：2024/06/05 21:18

6-3 Young氏矩阵
    一个m x n的Young氏矩阵（Young tableau）是一个m x n的矩阵，其中每一行的数据都从左到右排序，每一列的数据都从上到下排序。Young氏矩阵中可能会有一些∞数据项，表示不存在的元素。所以，Young氏矩阵可以用来存放r≦mn个有限的数。
    a）画一个包含元素{9，6，3，2，4，8，5，14，12}的4 x 4的Young氏矩阵。
    b）讨论一个m x n的Young氏矩阵，如果Y[1,1]=∞，则Y为空；如果Y[m,n]<∞，则Y是满的（包含m x n个元素）。
    c）给出一个在非空m x n的Young氏矩阵上实现EXTRACT-MIN的算法，使其运行时间为O(m+n)。你的算法应该使用一个递归子过程，它通过递归地解决(m-1) x n或m x (n-1)子问题来解决m x n的问题。（提示：考虑一个MAX-HEPIFY。）定义T(p)为EXTRACT-MIN在任何m x n Young氏矩阵上的最大运行时间，其中p=m+n。给出表达T(p)的、界为O(m+n)的递归式，并解该递归式。
    d)说明如何在O(m+n)时间内，将一个新元素插入到一个未满的m x n Young氏矩阵中。
    e)在不用其他排序算法帮助的情况下，说明如何利用n x n Young氏矩阵对n^2个数排序的运行时间为O(n^3)。
    f)给出一个运行时间为O(m+n)的算法，来决定一个给定的数是否在于一个给定的的m x n Young氏矩阵内。

分析与解答：

a）遵循每一行的数据都从左到右排序，每一列的数据都从上到下排序，可以很容易写出一个可能的Young氏矩阵

2 3 4 5

6 8 9 12

14 ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

b）Y[1,1]是Young氏矩阵中最小的元素，如果它为∞，说明矩阵中每个元素的值均不小于∞，即每个元素均是∞，所以Y为空；Y[m,n]是Young氏矩阵中最大的元素，如果Y[m,n]<∞，说明矩阵中每个元素均小于∞，即Y是满的

c）采用类似堆中提取最小元素的方法：将Young氏矩阵中最末的元素和第一个元素交换，然后类似MAX-HEAPIFY的方法调整第一个元素，整个过程如下：

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print?

YOUNG-EXTRACT-MIN(A)
min←A[1,1]
A[1,1]←A[m,n]
YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, 1, 1)
return min
YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, i, j)
if j<n and A[i,j]>A[i,j+1]
then (min_i, min_j) = (i, j+1)
else (min_i, min_j) = (i, j)
if i<m and A[min_i, min_j] > A[i+1,j]
then (min_i, min_j) = (i+1, j)
if min_i≠i or min_j≠j
then exchange A[i,j]↔A[min_i,min_j]
YOUNG-MIN-HEAPIFY(A,min_i,min_j

而YOUNG-MIN-HEPIFY是一个递归过程。YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, m, n)会和它紧邻的结点比较，要么调用YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, m, n-1)，要么调用YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, m-1, n)。若令p=m+n，则有：

T(p)= T(p-1)+O(1)

则总的运行时间为O(p)，即为O(m+n)

d）采用类似堆中增加元素的方法，先将∞放在Young矩阵的末尾，然后采用类似INCREASE-KEY的方法，向上调整

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print?

YOUNG-ISNERT(A, key)
(m, n) ← size(A)
if A[m,n]<∞
then error " YOUNG matrix overflow"
A[m, n]←∞
YOUNG-DECREASE-KEY(A, m, n, key)
YOUNG-DECREASE-KEY(A, i, j, key)
if j>1 and A[i,j] < A[i,j-1]
then (max_i, max_j) = (i, j-1)
else (max_i, max_j) = (i, j)
if i>1 and A[max_i, max_j] > A[i-1,j]
then (max_i, max_j) = (i-1, j)
if max_i≠i or max_j≠j
then exchange A[i,j]↔A[max_i,max_j]
YOUNG-DECREASE-KEY(A,max_i,max_j)

类似于上面的分析，若令p=m+n，则有：

T(p)= T(p-1)+O(1)

则总的运行时间为O(p)，即为O(m+n)

e）每次提取其中的最小元素，调用YOUNG-EXTRACT-MIN，共需调用n x n次，而每次YOUNG-EXTRACT-MIN需要O(n+n)运行时间，故总的运行时间为O(n^3)

f）每次与最右上角的元素X相比：如果等于X，则找到了；如果小于X，则去掉最上面一行；如果大于X，则去掉最右边一行。

每次比较去掉一行或一列，则该算法的运行时间为O(m+n)

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print?

YOUNG-SEARCH(A, i, j, m, n, key) //(i,j) and (m,n) was the coordinate of the left-top and the right-bottom of the sub YOUNG matrix
if i>m or j>n
then error "can't find the key"
if A[i,n]==key
then return (i,n)
else if max_A[i,n]<key
then YOUNG-SEARCH(i+1, j, m, n, key)
else YOUNG-SEARCH(i, j, m , n-1, key)

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