算法分析基础

1.级数

a. 算数级数（等差）

1+2+3+4+...+n = O(n^2) //末项的平方

b. 幂数级数

1^a + 2^a + ... + n^a = O(n^(a+1)) //末项的幂数加一次方

c. 几何级数

a^0 + a^1 + a^2 + ... + a^n=O(a^n)//末项

d. 调和级数

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = O(logn)

log1 + log2 + log3 + ... + logn = O(nlogn)

2.正确性证明

a. 不变性证明：第k轮后，一定会...;此时考虑第k+1轮...(数学归纳法)

b. 单调性证明：第k轮后，问题规模会变成n-k，算法必然会终止

因此，一定会有边界。

3. 递归

减而治之

分而治之

以上两种可同时用，例如lcs中末尾字符相同，则减而治之;不相同，则分成两种情况（分而治之）。

4. 封底估算

主流计算机频率： 10^9/s

fie = 1.618

fie^36 = 2^25

2^10 = 10^3

10^5 s = 1 day

10^10 = 3 centuries

5.关于递归的复杂度

无论是减而治之还是分而治之，复杂度取决于分成的递归进程个数。

一般来说，减而治之，复杂度不变;分而治之，复杂度指数级。