位运算

进制转换

提到位运算，不得不说的是进制的概念。我们在日常生活中使用的往往是十进制，但是在计算机中却是以二进制存储信息。同样常用的有八进制和十六进制。

如何进行进制转换呢？
首先是从十进制转换成N进制：对这个十进制数进行mod(N)运算直到结果为0，再将得到的模数反过来输出就是结果。
例如，将十进制的6转换成二进制，6%2=0(6/2=3)，3%2=1(3/2=1)，1%2=1(1/2=0)，逆序输出即为110。
其次是从N进制转换成十进制：对于N进制数的第i位数字，它所代表的就是这位数字乘以N的(i-1)次幂。
例如，六进制的521转换成十进制，1∗60+2∗61+5∗62=193。

练习1 进制转换

先输入一个N，和一个N进制的数X，再输入一个M，要求将N进制的数字X转换成M进制并输出结果。题目保证N和M小于10。

进阶：如果题目中的N和M小于16呢？小于36呢？
（提示：在十六进制中，A-F分别代表10-15）

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int Trans_to_demical(int n, string num) {    int ans = 0;    int xs = 1;    int sz = num.size();    for(int i = sz - 1; i >= 0; i --) {        if(num[i] >= 'A') ans += (num[i] - 'A' + 10) * xs;        else ans += (num[i] - '0') * xs;        xs *= n;    }    return ans;}string Trans_to_M(int m, int num) {    string res = "";    while(num > 0) {        char pl = 0;        int tmp = num % m;        if(tmp >= 10) pl = tmp - 10 + 'A';        else pl = tmp + '0';        res = pl + res;        num /= m;    }    return res;}void solve(int n, string num, int m) {    cout << Trans_to_M(m, Trans_to_demical(n, num)) << endl;}int main() {    int n, m;    string num;    cin >> n >> num >> m;    solve(n, num, m);    return 0;}

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位运算

左移操作相当于乘以2，右移操作相当于除以2并向下取整。

位运算在信息学竞赛中有着很多的应用。

异或操作在竞赛中是一个很重要的考点，这个操作有一个很重要的性质，异或操作的逆运算是他的本身。

也就是说a ^ b ^ b == a。

练习2 签到系统

学校新引进了一批签到系统，要求每个人在课前和课后都在系统中填写自己的学号，已知学号的范围是1~1e9，某次课程只有一名学生逃课，请你用最快的一种方法判断出哪名同学逃课了？
先输入一个N，N <= 1000000，接下来N个数代表每个人的学号，保证数据中只有一个数出现了1次，其余数字都出现两次。

样例输入：5 1 2 3 2 1
样例输出：3

运用以上性质，每输入一个数就参与到异或运算，最后的结果就是只出现一次的数字。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main() {    int n, tmp;    cin >> n;    int res = 0;    for(int i = 0; i < n; i ++) {        scanf("%d", &tmp);        res ^= tmp;    }    cout << res << endl;    return 0;}

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位运算的一些小应用

如何快速判断一个整数是奇数还是偶数？

x&1;

如何快速去掉一个整数的最后一位二进制？

x>>1;

如何在二进制最后加一个零？如何加一个一？

x<<1;x<<1|1;

如何把右数第k位变成1？如何取右数第k位的数？

x|(1<<(k-1));x|~(1<<(k-1));

如何把末尾k位都变成1？

x|((1k)-1);

如何把最后一个1变成0？

x&(x-1);

如何计算一个整数里面有多少个1？

int cnt=0;while(x){    x=x&(x-1);    cnt++;}

如果要将A变成B，需要改变多少位的二进制位？

x=A^B;int cnt=0;while(x){    x=x&(x-1);    cnt++;}

练习3 逃跑路线

有一个3 * 4矩阵迷宫，小明位于左下角的A点，出口在右上角的B点，我们规定向上走为1，向右走为0，则请求出小明都有什么方案可以逃出迷宫。例如0010101就是一种方案。

从0000111枚举到1110000，输出所有共有3位是1的二进制数。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;string Trans_to_M(int m, int num) {    string res = "";    while(num > 0) {        char pl = 0;        int tmp = num % m;        if(tmp >= 10) pl = tmp - 10 + 'A';        else pl = tmp + '0';        res = pl + res;        num /= m;    }    int sz = res.size();    for(int i = 0; i < 7 - sz; i ++) res = "0" + res;    return res;}int main() {    int tot = 0;    for(int i = 7; i <= 112; i ++) {        int tmp = i;        int cnt = 1;        while(tmp = tmp & (tmp - 1)) cnt ++;        if(cnt == 3) cout << Trans_to_M(2, i) << endl, tot ++;    }    cout << "共有" << tot << "种方法" << endl;    return 0;}

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信息学中的位运算

位运算在信息学竞赛中最常见的操作除了用来简化操作，最重要的就是进行状态压缩，模拟集合的运算。

一个unsigned int型的数有32个二进制位，所以最多可以表示一个包含32个元素的集合，每一位上的1代表这一位上代表的元素存在，为0则不存在。

假设有两个集合A和B，并集运算为A | B，交集运算为A & B，加入第i个元素为A = A | (1 << i)，删除第i个元素为A = A | ~(1 << i)。

练习4 等式密码

现在有形如1( )2( )3( )4( )5( )6( )7( )8( )9 == N的等式，我们要在括号里填入+、-和*，不考虑运算符的优先级，即1+2*3 == 9而不等于7，求一共有多少种填法。

思路一：设+为0，-为1，*为2，枚举从00000000到22222222的三进制数。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int calc(int num, int op, int nex) {    if(op == 0) return num + nex;    else if(op == 1) return num - nex;    else if(op == 2) return num * nex;}void solve(int n) {    for(int i = 0; i < 6561; i ++) {        int num = i;        int op[10] = {0};        for(int j = 8; j >= 1; j --) {            op[j] = num % 3;            num /= 3;        }        int res = 1;        for(int j = 1; j <= 8; j ++) {            res = calc(res, op[j], j + 1);        }        if(res == n) {            for(int j = 1; j <= 8; j ++) {                cout << j << " ";                if(op[j] == 0) cout << "+ ";                else if(op[j] == 1) cout << "- ";                else if(op[j] == 2) cout << "* ";            }            cout << "9 == " << n << endl;        }    }}int main() {    int n;    cin >> n;    solve(n);    return 0;}

思路二：深搜。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int op[10];void dfs(int res, int pos, int n) {    if(pos == 10) {        if(res == n) {            cout << "1 ";            for(int i = 2; i <= 9; i ++) {                if(op[i] == 1) cout << "+ ";                else if(op[i] == 2) cout << "- ";                else if(op[i] == 3) cout << "* ";                cout << i << " ";            }            cout << "== " << n << endl;        }        return;    }    op[pos] = 1;    dfs(res + pos, pos + 1, n);    op[pos] = 2;    dfs(res - pos, pos + 1, n);    op[pos] = 3;    dfs(res * pos, pos + 1, n);}int main() {    int n;    memset(op, 0, sizeof(op));    cin >> n;    dfs(1, 2, n);    return 0;}