【IOI2000】&邮局-这个世界需要更多邮局&

IOI2000-邮局

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前言-前言-前言

Hi你们好这里是长期不写博客使得博客等级如今还是1级的渣渣(｡･∀･)ﾉﾞ
先简要介绍一下：这是一道有着约17年历史【比我还要老ヾ(｡｀Д´｡)】的题目，曾经荣登IOI比赛的舞台，给世界各国的选手一个下马威。但是，17年岁月如白驹过隙，一下子就流逝得无影无踪了。当初没钱建的邮局如今终于建好了。
明明是一道IOI的题，做着难度却感觉和NOIP的乘积最大差不多【咳咳Σ( ° △ °|||)︴】。
对对对你分析推理得没错这是一道区间DP的题
恩恩就算你没有发现我将这道题与乘积最大对比的意图也没事
反正IOI2000DP题挺多的，不缺这个邮局
好啦好啦，废话少说，我们赶紧进入正题，来看看这道题究竟如何吧！

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题目描述-题目描述-题目描述

There is a straight highway with villages alongside the highway. The highway is represented as an integer axis, and the position of each village is identified with a single integer coordinate. There are no two villages in the same position. The distance between two positions is the absolute value of the difference of their integer coordinates.

Post offices will be built in some, but not necessarily all of the villages. A village and the post office in it have the same position. For building the post offices, their positions should be chosen so that the total sum of all distances between each village and its nearest post office is minimum.

You are to write a program which, given the positions of the villages and the number of post offices, computes the least possible sum of all distances between each village and its nearest post office.

Input
Your program is to read from standard input. The first line contains two integers: the first is the number of villages V, 1 <= V <= 300, and the second is the number of post offices P, 1 <= P <= 30, P <= V. The second line contains V integers in increasing order. These V integers are the positions of the villages. For each position X it holds that 1 <= X <= 10000.

Output
The first line contains one integer S, which is the sum of all distances between each village and its nearest post office.

Sample Input
10 5
1 2 3 6 7 9 11 22 44 50
Sample Output
9

题目大意
今有一条直路之村。公见示为一算轴，每村之位，以一算坐标以定之。同一位无两村。二位之相去，其成数坐标差者必直。
邮局将建于诸方，而不必为凡之村。一村及其所在之邮局有同之位。为师邮局，宜选择其位，使各村与近之邮局间之凡距之和小。
汝欲作一程式，及村之位与邮局之数，计每村及其近之邮局间可去者少与。

咳咳不开玩笑了ヾ(o◕∀◕)ﾉヾ

一条可以视为整数数轴的马路上有V个村庄，给定村庄的坐标（保证坐标不重复），两个村庄之间的距离被定义为坐标之差的绝对值。现在，我们要建P个邮局在一些，但并不是所有的村庄里。邮局建立的坐标应该与村庄相同。为了服务大众【误】，邮局的位置应该正确地决定，使得每个村庄和最近的邮局的距离总和最小。
那么问题来了：这个决定邮局位置的程序该谁写呢？

分析-分析-分析

啊你不会每个村庄都修一个邮局吗
啊为什么不改建村庄的位置
啊邮局为什么一定要建在村庄里
【抱怨ing】
算了算了，正经地分析一下
还是从问题性质入手：很明显最优化问题，无非就是贪心或动态规划。贪心似乎没什么好贪的，那么……动规如何？如果是动规的话，那就只能算是区间DP类型的了。既然如此，就按区间DP的思想去想想，可行吗？
定义状态：dp(i,j,k) 表示在i~j的村庄中建k个邮局的最优值
显然最优子结构与无后效性是满足的（根据区间DP的性质），所以我们根据模板可以立即写出
状·态·转·移·方·程·式

dp(i,j,k)=dp(i,u,v)+dp(u+1,j,k−v+1)其中i<=u<j，1<=v<k

初始状态：dp(i,j,1)=???
OK，那么初步的分析就到这里了~(≧▽≦)~！我们又突破了一道世界级难题，耶！

深析-深析-深析

才怪。
i,j,k,u,v五重循环，要是范围再增大一点到1000，TLE稳稳地贴在你脸上。
而且初始状态也是“一脸懵”，有可能连TLE都没有——只有WA。
所以你还是Too Young Too Simple。
我们必须对状态进行压缩——只有状态压缩了，才会有更稳的算法。
那我们可以去掉哪一层呢？根据区间DP的套路，区间[i,j]的枚举绝不能去掉，同时要满足k个邮局这种额外的限制条件，似乎一层也不能去啊……
啪！
该醒醒了。人，绝对不能被自己的思路所禁锢
我们一开始的思想出了错，才会出现这样的情况，不是吗？
为什么我们不去考虑一下前1~i个邮局建j个村庄的最优值呢？
状态转移的基本思路，就是：
从邮局的数量为思考起点，一步步的加1个邮局，直到 它==V
只要再定义一个数组 v[i][j] 表示在i~j内建一个村庄的最优值便可以了。那么，新的状态转移方程式就是：

dp(i,j)=dp(k,j−1)+v[k+1][i]其中j−1<=k<i

初始状态：dp(i,1)=v[1][i]
时间复杂度已经减少到了O(n^3)，但是新的问题又出现了：
v?−v?−v?

中位数-中位数-中位数

再回到定义吧：一条数轴上的n个点a1,a2,a3...an，选一个点b使得∑ni=1|a1−b|最小。
恩……是不是很眼熟？
算了我料到你们数学知识不太好就直接给出答案吧：b是数列a的中位数。
OK那么我们就有求解出v数组了
【没想到我讲得这么快吧233】

实现上有些值得注意的技巧：
你可以暴力：

for(int i=1;i<=V;i++)    for(int j=i;j<=V;j++)    {        int Mid=(i+j)/2;        for(int k=i;k<=j;k++)            v[i][j]+=fabs(S[Mid]-S[k]);    }

也可以利用v[i][j]与v[i+1][j−1]中位数相等的性质：

for(int i=1;i<=n;i++)    v[i][i]=0;for(int i=1;i<n;i++)        v[i][i+1]=S[i+1]-S[i];for(int len=3;len<=n;len++)    for(int i=1;i<=n-len+1;i++)    {        int j=i+len-1;        v[i][j]=v[i+1][j-1]+S[j]-S[i];    }

还可以更机智：

for(int i=1;i<=V;i++)    v[i][i]=0;for(int i=1;i<=V;i++)    for(int j=i;j<=V;j++)    {        int Mid=(i+j)/2;        v[i][j]=v[i][j-1]+S[j]-S[Mid];    }

【最后一个方法自己去琢磨琢磨吧】【因为我也一脸懵】

实现-实现-实现

你们很期待是不是？
你们很想AC是不是？
你们已经准备按下Ctrl+C了是不是？
然而我不会这么轻易放出代码的哈哈哈

#include<cstring>#include<cmath>#include<cstdio>int S[305],f[35][305],v[305][305];int min(int a,int b){    return a<b?a:b;}int main(){    int V,P;    scanf("%d %d",&V,&P);    for(int i=1;i<=V;i++)        scanf("%d",&S[i]);    memset(f,127,sizeof(f));    for(int i=1;i<=V;i++)        v[i][i]=0;    for(int i=1;i<=V;i++)        for(int j=i;j<=V;j++)        {            int Mid=(i+j)/2;            v[i][j]=v[i][j-1]+S[j]-S[Mid];        }    for(int i=1;i<=V;i++)        f[1][i]=v[1][i];    for(int i=2;i<=P;i++)        for(int j=i;j<=V;j++)            for(int k=i-1;k<j;k++)                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+v[k+1][j]);    printf("%d\n",f[P][V]);}

哈哈哈诶我怎么一不小心把代码放出来了

总结-总结-总结

从“尝试”去攻破它，到真正去攻破它，耗时3个月
其实我一直有避开一个我曾经的思考误区：怎么保证村庄一定是到达的离它最近的邮局
但其实，我们正确的决策就巧妙地回避了这个问题。事实上可以证明，我们的决策一定是满足这个限制。
那么：

END-END-END

就是这样，新的一天里，也请多多关照哦(ノω<。)ノ))☆.。~