算法进阶之动态规划

   
     动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义。


     动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。


能用动态规划解决的问题的特点

    1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子

结构性质。

    2) 重叠子问题。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采

取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。


01背包问题


题目


    这题非常有名，只要是计算机专业的应该都有听说过。有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是

c[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

    我们把题目具体下， 有5个商品，背包的体积为10，他们的体积为 c[5] = {3,5,2,7,4};  价值为 v[5] = 

{2,4,1,6,5};


问题分析


    这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。可以将背包问题的求解看作是进行一

系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些不放入背包。

    如果一个问题的最优解包含了物品n，即Xn = 1，那么其余X1, X2, .....,Xn-1 一定构成子问题1,2,.....,n-1

在容量C - cn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n,即Xn = 0;那么其余 X1, X2.....Xn-1一定构成了子问题 

1,2,....n-1在容量C时的最优解。  


根据以上分析最优解的结构递归定义问题的最优解    c[i][w] = max{ c[i-1][w] , c[i-1][w- c[i]] + v[i]}


解决方案

namespace 动态规划{    public partial class Form1 : Form    {        public Form1()        {            InitializeComponent();        }        private void button1_Click(object sender, EventArgs e)        {            int i, w;            int n = 5;   //5个物品            int  W=17;   //背包载重            int[] Weights = new int[6] { 0, 3, 4, 7, 8, 9 };  //因为索引都是从0开始的，为了不使得下标越界，所以多定义一个            int[] Values = new int[6] { 0,4, 5, 10, 11, 13 };            int[,] c = new int[6, 18];            for (w = 0; w <= W; w++)            {                c[0,w] = 0;            }            for (i = 1; i <= n; i++)            {                c[i, 0] = 0;                for (w = 1; w <= W; w++)                {                    if (Weights[i] <= w)                    {  //物品的重量小于背包内的剩余容量                        if (Values[i] + c[i - 1, w - Weights[i ]] > c[i - 1, w])                            //物品放进去                            c[i, w] = Values[i] + c[i - 1, w - Weights[i ]];                                                else//物品不放进去                         c[i, w] = c[i - 1, w];                     }                    else  //物品的重量大于背包内的剩余容量                     c[i, w] = c[i - 1, w];                 }            }            //输出最优值，在背包为最大容量是一定能取得最优值            textBox1.Text = c[n, W].ToString();            //求最优解            int[] x = new int[6];            for (i = n; i > 1; i--)            {                if (c[i - 1, W] == c[i, W])                    x[i] = 0;                else                {                    x[i] = 1;                    W = W - Weights[i];                }            }            if( c[1,W]==0)                x[1]=0;            else                x[1]=1;            for (i = 1; i <= n; i++)            {                 if( x[i]==1)                {                    textBox2.Text = textBox2.Text + " " + i.ToString();                }            }        }    }}