欧几里得算法（辗转相除）及其扩展证明

首先欧几里得是谁？？？

学数学的人一定不陌生，一位为数学界做出重大贡献的人；（以下摘自百度百科）

欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，公元前330年—公元前275年），古希腊数学家。他活跃于托勒密一世（公元前364年－公元前283年）时期的亚历山大里亚，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。（有兴趣的人可以自行百度）

那么欧几里得算法又是什么呢？

这个名字大家可能会有点陌生，但是辗转相除法肯定听说过，没错，欧几里得算法就是辗转相除法的大名，而辗转相除法则像一个外号；

欧几里得算法可以这样描述：有正整数a，b（a>b）；a=n*b+r（n， r均为正整数）；则a， b的最大公约数等于b， r的最大公约数；

公式表示为gcd（a，b）= gcd（b，a%b）；（PS：gcd是greater common divisor（最大公约数）的缩写）；

证明：

方法一：

假设 d为a，b的公约数，则d|a, d|b(d|a表示a能被d整除); 令a=x*d， b=y*d；则r=a-n*b=x*d-n*y*d=(x-n*y)*d; 所以r|d；所以d为b，a%b的公约数；

假设d为b，r的公约数；因为a=n*b+r；同理可得d|a；所以d为a，d的公约数；

综上所述：a，b的公约数=  b，a%b的公约数；

那么同理gcd（a， b）=gcd（b， a%b）；

方法二：

若gcd（a， b）=gcd（b， r）成立（r=a%b）， 令c=gcd（a，b）；a=m*c，b=n*c， 且n，m互质；

因为r=a%b，r=a-kb=m*c-kn*c=(m-k*n)*c；

假设n和（m-k*n）不互质，则n=x*d，（m-k*n）=y*d（d>1），m=y*d+k*x*d=（y+k*x）*d；a=m*c=（y+k*x）*d*c， b=n*c=x*d*c；所以a，b的最大公约数，与前提矛盾，所以n，（m-k*n）互质；

所以gcd（a，b）=gcd（b，a%b）；

证明结束；

那么，该算法可以解决什么问题呢？很显然是求两个数的最大公约数了；

好，你一定迫不及待要看代码实现了，take it easy，NOW show U：

#include <iostream>using namespace std;//递归实现：int gcd_1(int a, int b){             return a%b==0? b : gcd_1(b, a%b);}//迭代实现：int gcd_2(int a, int b){            while(b){        int c=b;        b=a%b;        a=c;    }    return a;}int main(){    int a, b;    cin >> a >> b;    if(a<b){        a=a+b;        b=a-b;        a=a-b;    }    int gcd1, gcd2;    gcd1=gcd_1(a, b);    gcd2=gcd_2(a, b);    cout << "gcd1: " << gcd1 << endl;    cout << "gcd2: " << gcd2 << endl;    return 0;}

现在了解一下扩展欧几里得算法：

对于非负整数a，b必然存在整数对x，y使得a*x+b*y=gcd（a，b）；（PS： x，y∈Z）；

证明：

令a*x1+b*y1=gcd(a, b) （1） ; b*x2+a%d*y2=gcd(b, a%b) （2）;

在计算机中a%d=a-（a/b）*b；所以（2）式可化简为 a*y2+b*（x2-（a/b）*y2）=gcd（b，a%b）；

因为gcd(a, b)==gcd(b, a%d) , 所以a*x1+b*y1==a*y2+b*(x2-(a/b)*y2), 所以x1==y2, y1==(x2-(a/b)*y2);

由此我们可以看出x1,y1与x2,y2有关；但是x2,y2又怎么求呢？？？？

我们可以取一个极值；当b=0时 gcd（a， b）=a；a*x+b*y=gcd(a, b)=a; 此时x，y有唯一解x=1，y=0（PS：其实唯一解这一说法不严谨，应该是x有唯一解：x=1；y可以是任意整数，此处为了简单化令y=0；当然无论y取何值都是可以的，不过此时y的取值决定了之后的x，y的解，毕竟a*x+b*y=gcd（a，b）的解不唯一）；

有了极值之后，也就是有了递归的终点，那么就可以递归求出a*x+b*y=gcd（a，b）中x，y的一个解；

OK，SHOW U THE CODE:

#include <iostream>using namespace std;//函数返回值r表示a，b的最大公约数；int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){    if(b==0){        x=1;        y=0;        return a;    }    int r=exgcd(b, a%b, x, y);    int t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;    return r;}int main(){    int a, b;    cin >> a >> b;    if(a<b){        a=a+b;        b=a-b;        a=a-b;    }    int x, y;    int r=exgcd(a, b, x, y);    cout << r << ' ' << x << ' ' << y;    return 0;}