浅谈多重积分及其计算

P.S.
大作业系列之五（一二三为手写稿）
数学分析下列比较简单的内容
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1 多重积分的概念与基本性质

1.1 多重积分的定义

对自然数n(n>1),记集合T

T=[a1,b1)×[a2,b2)×⋯×[an,bn)⊆Rn

将每个区间[aj,bj)划分成有限个不重叠的左闭右开的子区间Ij,记

C=I1×I2×⋯×In

则所有的C​可以看做是T​的一个划分(分割),即

T=C1∪C2∪⋯∪CmCi∩Cj=∅,i≠j

记Ci的直径为diamCi.划分C的细度定义为

||C||=max1≤i≤m{diamCi}

设f(x1,x2,⋯,xn)为定义在T上的有界函数,对于任意ϵ>0,存在δ>0,对于T上的任意分割C(||C||<δ),在Ci中任取一点(x1i,x2i,⋯,xni),令V(Ci)表示笛卡尔积为Ci的所有区间的边长之积,若

∣∣∣∑i=1mf(x1i,x21,⋯,xni)V(Ci)−J∣∣∣<ϵ

则称函数f黎曼可积,且

J=lim||C||→0∑i=1mf(x1i,x2i,⋯,xni)V(Ci)

称为函数f在n维超立方体区域上的n重积分.

利用以上定义的n重积分,可以给出一个定义在n维空间的有界集的超n维体积.

给出超n维体积定以后,也可以给出另一种形式三重积分数学定义.

设f(x1,x2,⋯,xn)为定义在Rn上可求超n维体积的有界区域D上的有界函数,将其划分成有限个内部互不相交的有超n维体积的子区域D1D2,⋯,Dm,记分割细度

λ=max1≤i≤m{diamDi}

∀ϵ>0,∃δ>0,λ<δ使得∀Xi∈Di都有

∣∣∣∑i=1mf(Xi)V(Di)−J∣∣∣<ϵ

则称f在D上n重(黎曼)可积且积分等于J.

若函数f在D上黎曼可积,则记做

J=∫⋯∫Df(x1,x2,⋯,xn)dx1dx2⋯dxn=∫Df(X)dnx

1.2 多重积分的性质

若函数f和g在D上n重可积,由极限的性质和运算法可知,

1. 线性性

   对于任意常数a,b,则
   

   ∫D(af+bg)=a∫Df+b∫Dg

2. 保序性

   若在D上满足f≤g,则
   

   ∫Df≤∫Dg

3. 区域可加性

   若D可分成两个无公共内点的区域D1,D2则f在D上可积的充要条件是在D1和D2上均可积,且
   

   ∫Df=∫D1f+∫D2f

4. 乘积可积性

   函数fg在D上仍可积

5. 绝对可积性

   函数|f|在D上可积,且
   

   ∣∣∣∫Df∣∣∣≤∫D|f|
   
   ​

6. 积分中值定理

   若f在闭区域D中连续,则存在X0∈D,记V(D)为D的超n维体积,则
   

   ∫Df(X)dnx=f(X0)V(D)

1.3 多重积分的存在定理

将定积分的达布定理和勒贝格定理拓展到多重积分.

设函数f(x1,x2,⋯,xn)为定义在可求超n维体积的有界闭区域D上的函数.设D可以分割为有限个内部互不相交的子区域C:D1,D2,⋯,Dm,定义

Mi=supX∈Dif(X),mi=infX∈Dif(X),i=1,2,⋯,mS(C)=∑i=1mMiV(Di),s(C)=∑i=1mmiV(Di),||C||=max1≤i≤m{diamDi}

则有:

1. 若f在D上可积,则f在D上必有界.

   证明 反证法.设f在D上无界,则对于任何D的分割C,必定存在某个子区域Dk,使得f在Dk上无界.在i≠k的各个子区域上取定Xi,并令
   

   G=∣∣∣∣∑i=1,i≠knf(Xi)V(Di)∣∣∣∣
   
   ∀M>0,∃Xk∈Dk使得
   
   |f(Xk)|>M+GV(Dk)
   
   则
   
   ∣∣∣∑i=0mf(Xi)V(Di)∣∣∣≥|f(Xk)V(Dk)|−∣∣∣∣∑i=1,i≠knf(Xi)V(Di)∣∣∣∣>M+GV(Dk)V(Dk)−G=M
   
   无论分割的细度||C||多么小,上式总成立,这与f在D上可积矛盾.

2. 达布定理

   对于函数f,
   

   lim||C||→0S(C)=J¯,lim||C||→0s(C)=J−J¯=inf{S(C)|∀C},J−=sup{s(C)|∀C}
   
   其中J¯和J−分别称为上积分和下积分.

   函数f可积的充要条件是
   

   lim||C||→0S(C)=lim||C||→0s(C)⇔J¯=J−
   
   证明 这里先证明
   lim||C||→0S(C)=J¯
   ,另一个结论同理.

   根据下确界的定义,∀ε>0,∃C′:D′1,D′2,⋯,D′m′使得
   

   S(C′)<J¯+ε2
   
   任取分割C:D1,D2,⋯,D′m满足
   
   ||C||=max1≤i≤mV(Di)<min{V(D′1),V(D′2),⋯,V(D′m′),ε2nm′ω}
   
   将分割C和C′合并成一个新的分割C∗,有
   
   0≤S(C)−S(C∗)≤nm′ωδ
   
   ω为函数f的振幅,由于
   
   0≤S(C)−J¯≤(S(C)−S(C∗))+(S(C∗)−S(C′))+(S(C′)−J¯)S(C∗)−S(C′)≤0
   
   因此
   
   S(C)−J¯≤(S(C)−S(C∗))+(S(C′)−J¯)≤nm′ωδ+ε2<ε
   
   证毕.函数f的可积性的充要条件的证明显然.

3. 函数f可积的充要条件是对于任意的ε>0,存在分割C,使得
   

   S(C)−s(C)<ε

4. 若函数f连续,则f必定可积.

5. 设函数f为有界函数,f可积的充要条件是不连续点集为零测集.

   证明 这里不妨设函数f的不连续点全部落在n维空间的一个光滑n维超曲面上.对于任意的ε>0,记该超曲面的面积为p,用

   [pεn−1]+1
   个边长为ε的n维超立方体可以将这个曲面完全包含在其中.此部分记为Δ,其n维超体积为
   
   W≤([pεn−1]+1)εn≤(p+εn)ε
   
   将区域D分成两部分:D1=D∩Δ,D2=D−D1,由于f在D2上连续,则f在D2上可积,则存在D2上的分割C2,满足
   
   S(C2)−s(C2)<ε
   
   记
   MΔ=supX∈Δf(X),mΔ=infX∈Δf(X)
   ,C表示由C2和Δ的边界组成的分割,则有
   
   S(C)−s(C)<[S(C2)−s(C2)]+(MΔ−mΔ)W<ε+ωW≤(a+pω+ωεn)ε
   
   其中ω为函数f的振幅.由于f为有界函数,则ω为一有限值,因而f在D上可积.

   若f在D上可积,∀ε>0,∀k∈N∗,∃C:D1,D2,⋯,Dm使得
   

   ∑i=1mωiV(Di)<εk
   
   ωi表示f在Di上的振幅.记其不连续点的集合为E(f),则有
   E(f)=∪∞k=1E1k
   ,对于不连续点X的振幅ω(X),存在k′∈N∗满足
   ω(X)≥1k′
   因而能取到
   
   ωi≥1n
   
   用∑′表示对E1k∩Di不为空的那些i求和,则有
   
   εn>∑i=1mωiV(Di)≥∑′ωiV(Di)≥1n∑′V(Di)∑′V(Di)<ε
   
   即E(f)的n维超体积为0,因而测度为0,证毕.

2 多重积分的计算

2.1 多重积分的计算顺序

理论上,对于n重积分所化成的累次积分,有n!种不同的计算顺序.这里取一种计算顺序为例.

若函数f在由下列不等式所确定的有界区域D内是连续的:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x′1≤x1≤x′′1x′2(x1)≤x2≤x′′2(x1)⋮x′n(x1,x2,⋯,xn−1)≤xn≤x′′n(x1,x2,⋯,xn−1)

其中x′1和x′′1是常数,x′2,x′′2,⋯,x′n,x′′n,是连续函数,则相应的多重积分可以化为累次积分,即

∫Df(X)dnx=∫x′′1x′1dx1∫x′′2(x1)x′2(x1)dx2⋯∫x′′n(x1,x2,⋯,xn−1)x′n(x1,x2,⋯,xn−1)f(x1,x2,⋯,xn)dxn

在其他的顺序下,同样成立.

2.2 多重积分的换元

设向量值函数F:D→D∗将可求超n维体积的有界区域D一一映射到区域D∗,即

F(X)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜ϕ1(x1,x2,⋯,xn)ϕ2(x1,x2,⋯,xn)⋮ϕn(x1,x2,⋯,xn)⎞⎠⎟⎟⎟⎟

F在D上具有一阶连续的偏导数,且

∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)≠0

.设f在D上可积

∫⋯∫Df(x1,x2⋯,xn)dx1dx2⋯dxn=∫⋯∫D∗f(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)dϕ1dϕ2⋯dϕn

证明 将D分成m个小区域Di,区域D∗也被相应地分成了m个小区域D∗i,记其相应的超n维体积为V(Di)和V(D∗i),设分割细度分别为||λ||和||λ∗||.

由Taylor公式展开并略去高阶无穷小后有

limV(D)→0V(D∗)V(D)=∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)

根据中值定理有

V(D∗i)=∫⋯∫D∣∣∣∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)∣∣∣dx1dx2⋯dxn=|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

其中Xi¯¯¯¯∈Di,记Φi¯¯¯¯=(ϕ1(Xi¯¯¯¯),ϕ2(Xi¯¯¯¯),⋯,ϕn(Xi¯¯¯¯))∈D∗,则

∑i=1mf(Φi¯¯¯¯)V(D∗i)=∑i=1mf(Xi¯¯¯¯)|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

由于F的连续性,当||λ||→0时,有||λ∗||→0.上式两边取极限,得证.

2.3 球坐标变换

根据球坐标变换公式

x1x2⋮xn−1xn=rcosϕ1=rsinϕ1cosϕ2=rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−2cosϕn−1=rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−2sinϕn−1

将直角坐标(x1,x2,⋯,xn)变换为极坐标(r,ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn−1).特别地,

x2!+x22+⋯+x2n=1∂(x1,x2,⋯,xn)∂(r,ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn−1)=rn−1sinn−2ϕ1sinn−3ϕ2⋯sinϕn−2

证明 第一式显然,很容易计算.对第二式,有

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜cosϕ1sinϕ1cosϕ2⋮sinϕ1⋯sinϕn−2cosϕn−1sinϕ1⋯sinϕn−2sinϕn−1−rsinϕ1rcosϕ1cosϕ2rcosϕ1⋯sinϕn−2cosϕn−1rcosϕ1⋯sinϕn−2sinϕn−1−rsinϕ1sinϕ2⋯⋯−rsinϕ1⋯sinϕn−2sinϕn−1rsinϕ1⋯sinϕn−2cosϕn−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

∂(x1,x2,⋯,xn)∂(r,ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn−1)=(rcos2ϕ1sinn−2ϕ1+rsinn)∂(x′1,x′2,⋯,x′n−1)∂(r,ϕ2,⋯,ϕn−1)=rsinn−2∂(x′1,x′2,⋯,x′n−1)∂(r,ϕ2,⋯,ϕn−1)⋯=rn−1sinn−2ϕ1sinn−3ϕ2⋯sinϕn−2

3 多重积分的实例

例1 计算

>∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn>

其中

D={x1+x2+⋯+xn≤1xi≥0,i=1,2,⋯,n

.

解1 转化成累次积分再逐层计算.

>=====∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−10dxn∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−2011!(a−x1−x2−⋯−xn−1)dxn−1∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−3012!(a−x1−x2−⋯−xn−2)dxn−2⋯∫a01(n−1)!(a−x1)n−1ann!>

解2 同样需要转化成累次积分,但是与上一个解法不同,这里做代换.记

>In(a)=∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−10dxn>

在右端的累次积分做代换x1=ay1,x2=ay2,⋯,xn=ayn,则

>In(a)=anIn(1)In(1)=∫10dx1(In−1(1−x1))=In−1(1)∫10(1−x1)n−1dx1=1nIn−1(1)>

因而

>In(a)=ann!>

例2 计算

>∫⋯∫Dx1+x2+⋯+xn−−−−−−−−−−−−−−√dx1dx2⋯ xn>

其中

D={x1+x2+⋯+xn≤1xi≥0,i=1,2,⋯,n

.

解 先换元,再将其化为累次积分,则有

>x1x2⋮xn−1xn=y1(1−y2)=y1y2(1−y3)=y1y2⋯yn−1(1−yn)=y1y2⋯yn,0≤yi≤1,(i=1,2,⋯,n),x1+x2+⋯+xn=y1>

>∣∣∣∣∣∣∣∣1−y2y2(1−y3)⋮y2y3⋯yn−1(1−yn)y2y3⋯yn−y1y1(1−y3)y1y3⋯yn−1(1−yn)y1y3⋯yn−y1y2⋯⋯y1y2⋯yn−2(1−yn)y1y2⋯yn−2yn−y2y3⋯yn−1y1y2⋯yn−1∣∣∣∣∣∣∣∣=yn−11yn−22⋯yn−1>

>==∫⋯∫Dx1+x2+⋯+xn−−−−−−−−−−−−−−√dx1dx2⋯ xn∫10∫10⋯∫10yn−121yn−22⋯yn−1dy1dy2⋯yn2(n−1)!(2n+1)>

例3 计算n维角锥体积

>∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn>

其中

D={x1a1+x2a2+⋯+xnan≤1ai>0,xi≥0,i=1,2,⋯,n

.

解 令x1=a1y1,x2=a2y2,⋯,xn=anyn,根据例1的结果有

>∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn=a1a2⋯an∫⋯∫D∗dy1dy2⋯ yn=a1a2⋯ann!>

例4 计算n维超球体的体积

>∫⋯∫x21+x22+⋯+x2n≤a2dx1dx2⋯ xn>

解1 利用n维球坐标计算.

>==∫⋯∫x21+x22+⋯+x2n≤a2dx1dx2⋯ xn∫10dr∫π0dϕ1∫π0dϕ2⋯∫π0dϕn−2∫2π0rn−1sinn−2ϕ1sinn−3ϕ2⋯sinϕn−2dϕn−1⎧⎩⎨πmm!a2m,2⋅(2π)m(2m+1)!!a2m+1,n=2mn=2m+1>

解2 利用代换法,令x1=ay1,x2=ay2,⋯,xn=ayn

>Vn(a)=∫⋯∫x21+x22+⋯+x2n≤a2dx1dx2⋯ xn=anVn(1)>

>Vn(1)=∫1−1dx1(In−1(1−x21−−−−−√))=In−1(1)∫1−1(1−x21)n−12dx1=2Vn−1(1)∫π20sinnϕdϕV1(1)=2>

可以得到同样的结果

>Vn(a)=⎧⎩⎨πmm!a2m,2⋅(2π)m(2m+1)!!a2m+1,n=2mn=2m+1>

例5 计算n维圆锥的体积,边界方程

>x21a21+x22a22+⋯+x2n−1a2n−1=x2na2n,xn=an>

解 利用广义球坐标变换的思想,即

>x1x2⋮xn−2xn−1xn=a1rcosϕ1=a2rsinϕ1cosϕ2=an−2rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−3cosϕn−2=an−1rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−3sinϕn−2=anx′n>

则

>V=a1a2⋯an∫10rn−2dr∫π0sinn−3ϕ1dϕ1⋯∫π0sinϕn−3dϕn−3∫2π0dϕn−2∫1rdx′n=⎧⎩⎨⎪⎪a1a2⋯an(2π)m−1(2m−1)!!m,a1a2⋯anπmm!(2m+1),n=2mn=2m+1>

参考文献

1. 杨小远,孙玉泉,杨卓琴,薛玉梅编著.工科数学分析分析教程(下册)[M].北京:科学出版社,2012:27-29

2. 杨小远,孙玉泉,杨卓琴,薛玉梅编著.工科数学分析分析教程(上册)[M].北京:科学出版社,2012:190-191,210-214

3. 费定晖,周学圣编演.吉米多维奇数学分析习题集题解6[M].济南:山东科学技术出版社,2012:106-111

4. wikipedia.Multiple integral[EB/OL].2017-05-30.

   https://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral

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