4. Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Example 1:

nums1 = [1, 3]nums2 = [2]The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]nums2 = [3, 4]The median is (2 + 3)/2 = 2.5

求两个有序数组的中位数，O（m+n）的复杂度也能求解，而且还非常简单，但是题目要求时间复杂为O（log(m+n)），方法基本上可以锁定为二分、分治、归并类型算法。

求两个有序数组的中位数，其实可转化为求两个有序数组的第k个数（m+n为偶数时为k-1和k）。

假设两个数组均为升序，假设len_a <= len_b。求k采用分治算法，递归查找第k个数。

当a[k/2-1] < b[k/2-1]时，k/2-1对应数组的下标，所以k/2-1其实是对应数组的第k/2个数（第1个数下标为0），在a[k/2-1]<b[k/2-1]时，小于等于a[k/2-1]的数的数量<=k/2+k/2-1个，即k-1个，其中数组a有k/2个数（含a[k/2-1]），数组b最多k/2-1个数(因为不含b[k/2-1]，且又不确定a[k/2-1]是否小于数组b中下标为k/2-1前面的数)。又可知第k个数不可能在b[k/2-1]的右边（不含b[k/2-1]）,因为前面还有a的k/2个数和b的k/2个数，共k个数，此时b[k/2-1]是第k个数，与第k个数在b[k/2-1]右边矛盾了，因此当a[k/2-1] < b[k/2-1]情况下，第k个数一定位于a的右半部分和b的左半部分，根据该条件递归查找。

同理分析a[k/2-1] > b[k/2-1]。

当a[k/2-1]  = b[k/2-1]时，根据第一种情况的分析，这个数肯定位于b[k/2-1]处。

AC代码如下：

class Solution {        public int findMedianIndex(int[] nums1, int begin1, int len1, int[] nums2, int begin2, int len2, int k){        if (len1 > len2){            return findMedianIndex(nums2, begin2, len2, nums1, begin1, len1, k);        }        if (len1 == 0){            return nums2[begin2 + k-1];        }        if (k == 1){            return Math.min(nums1[begin1], nums2[begin2]);        }        int part1 = Math.min(k/2, len1), part2 = k - part1;        if (nums1[begin1 + part1 - 1] == nums2[begin2 + part2 - 1]){      return nums1[begin1 + part1 - 1];        }        else if (nums1[begin1 + part1 - 1] < nums2[begin2 + part2 - 1]){            return findMedianIndex(nums1, begin1 + part1, len1 - part1, nums2, begin2, len2, k - part1);        }        else {            return  findMedianIndex(nums1, begin1, len1, nums2, begin2 + part2, len2 - part2, k - part2);        }    }        public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {        int len1 = nums1.length, len2 = nums2.length, sumLen = len1 + len2;    if (sumLen % 2 != 0) {            return findMedianIndex(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, sumLen / 2 + 1);        }        else {            return (findMedianIndex(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, sumLen / 2)+ findMedianIndex(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, sumLen / 2 + 1)) / 2.0;        }    }}