LSD(Line Segment Detector)直线提取算法

LSD是2010年发表在ipol上的一篇论文提出的直线提取算法，在较短的时间内可以提取一张灰度图上所有的线段特征。
(文中提到了a contrario model 和 Helmoholtz principle，在这篇文章中并没有进行讲解)

LSD算法是基于梯度的，但是为了减少梯度的依赖性，LSD算法也做了一些必要的优化措施，所以它的流程如下。

1. 首先，对图片进行一次高斯降采样，缩小图片

1.1. 降采样要解决的问题

通过降采样可以减缓或解决图像中出现的混叠与量化伪像问题（特别是阶梯效应）
混叠问题是使不同的信号成为不可区分的效果（或别名彼此的）时采样。它也指失真或伪影，其导致当从样品中重建的信号是从原始连续信号不同。

而另一个问题，阶梯效应实际上就是锯齿问题，图像在边缘处常常显示成锯齿状，所以需要通过降采样解决这个问题。

可以看到在降采样前，这两种边缘处提取的线段，第一张提取的是分段的线段，而本应是完整的一条线，而第二张则是连线段都没有提取出来。

而在降采样之后，两种线段均提取的较为正常了

1.2. LSD降采样的方法

该LSD算法中默认的降采样比例是0.8，那意味着，X轴Y轴各降采样0.8，而总像素降采样0.64。所以如果我们在计算NFA值的时候，使用的是N*M的图像的话，那么输入图像的分辨率应该是1.25N*1.25M。并且在LSD算法的降采样中，使用的是高斯降采样，通过使用高斯内核过滤图像以避免混叠然后进行次采样。公式求得的是高斯内核标准偏差，S是缩放因子。

2. 计算梯度

LSD梯度的计算利用每像素点的右边下方的四个像素进行计算。这样做，主要是尽可能少的使用其他像素，可以减少对梯度的依赖性，这样对有噪声的图像更具有鲁棒性。计算梯度是为了记录明暗变化，从而找到可能有线段边缘的地方。

图像中由明转暗和由暗转明处的线段方向是不同的，呈180度差距，那就意味着如果一张图片倒置其明暗，使用LSD算出的线段依旧是那些线段，但是头与尾是颠倒过来的。
并且因为梯度计算只用到了右下方的像素，所以计算出来的梯度并不是(x,y)点的梯度，而是(x+0.5,y+0.5)的梯度。

3. 梯度伪排序

排序算法一般最快的也是O(nlogn)时间复杂度的，但是如果我们使用伪排序就可以将时间缩短到O(n)线性时间内，而伪排序并不是真正的进行了梯度的排序，只是对梯度值按照他们的分布进行一定程度的排序。

LSD算法的排序算法基于贪心算法，先从0到最大梯度之间分成1024个等份，再从这1024个分段中每个分段取一个种子像素，以用来进行排序，因为1024已经可以将0~255分成很细的段了，所以伪排序虽然不是真正的排序，但是效率很高。

4.梯度的阈值

计算完梯度之后，会发现，如果一张图像中有些小梯度区域表现非常均匀，由于值的量化，那里的像素就会表现出更高的误差，那么设定如果梯度小于某一个阈值ρ就被抛弃并将不再用于线段区域的构建。
假设存在理想图像i和量化噪声n

我们可以观察到，当角度误差小于容忍值的时候，我们就接受这个像素，，等式的右边是容忍度，q是 |▽n| 的边界，容忍度我们用τ来表示，所以可以得到。一般来说，我们设定q = 2。

5. 区域更新 RegionGrow

我们当前像素计算完梯度之后，会得到一个像素的方向，而由像素构成的line区域也会有一个方向，我们便可以通过这两个方向之间的差距，判断该像素是否可以被纳入到直线区域中。

从排序列表中选择一个NOT USED像素作为种子点，检查在当前像素周围的领域像素内那些未使用的像素点中，LLA(Level-line-angle)和区域角度之间的差值在容忍值τ 内话，将会被加入到该line support region区域中。而区域初始角度就是种子点的LLA，每次加入一个新像素到区域中的时候，区域角度就通过下面的公式对整个直线区域更新一次(其中j是遍历时的像素下标)：

误差容忍值默认被设为22.5，那就意味着对于整个区域矩形来说，误差容忍度是45度，22.5这个值是通过实验得出的经验值。

区域更新的流程：

6. 矩形近似计算

上面在规划区域后，我们要将该区域进行矩形近似计算，以求得一个较为规整的直线区域。
一个直线段对应一个矩形，在评估line support region之前，直线对应的矩形应该被找出来，并可以用公式计算矩形的中心：

G(j)是像素j的梯度值，j代表区域内的每一个像素点
矩形的角度，被设为特征向量的角度，而这个特征向量与下面M矩阵的最小特征值有关

7. NFA值计算

字面上解释，Number of False Alarms指的是误报数，也就是原本并不是直线但是被当做直线的地方。
因为矩形是有方向的，所以他们的起始点和终止点的排序实际上是有很多种可能的，这样看的话，从A点到B点，和从B点到A点实际上是不同的两个线段。所以我们要考虑到所有起始点终止点的可能性，在一张降采样后，N*M的图像上，我们的点有NM个所以就有可能有NM x NM种搭配的矩形，并且矩形线的线宽有√(NM)种。

所以我们的矩形线段就会有种可能性。

我们用二项分布来表示测试数据。
我们将p的初值设为τ/π，并用γ来表示p的不同值的可能数量。那么最终的测试数量是

我们用一个阈值ε来对NFA值进行过滤，并且如果一个矩形满足 NFA(r,i)<=ε 那么这个矩形被称作ε-meaningful 矩形。

在这里存在一个定理：

在上式中，E是期望函数，1是指示函数，R是矩形集，I是随机图像。“ε有意义”的矩形的平均数小于ε。
因此，噪声检测的数量由ε控制，并且可以根据需要进行较小的控制。

参考文献：
https://en.wikipedia.org/wiki/Aliasing
http://blog.csdn.net/ivandark/article/details/29562201