GCD和XOR

声明

这并不是一篇讲述gcd与xor有什么神奇关系的文章，只是一道题目名而已。

题意

给定一个正整数n，在[1,n]的范围内，求出有多少个无序数对(a,b)满足gcd(a,b)=a xor b。

思考时间

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题解

我们来证明两个比较显然的命题，
对于两个正整数a，b且a大于b。
①a xor b≥a-b
②a-b ≥gcd(a,b)
首先证明①：
根据xor的运算我们可以得到∀p,q∈{0,1}，有p xor q≥p-q
然后我们将a，b两个数转化为二进制，则有
a-b=∑i=1(ai−bi)，（ai,bi∈{0,1}）
a xor b=∑i=1(ai xor bi)，（ai,bi∈{0,1}）
结合上面命题显然成立。
②：
设a=pd，b=qd，(p,q)=1，那么a，b的最大公约数即为d。
p-q=d(p-q)，
若p=q，那么此时(p,q)=p，也即p和q的最大公约数不为1，矛盾，舍去。
若p大于q时，显然成立p-q=d(p-q)>d

进入正题

那么如果有a xor b=gcd(a,b)，那么就有a xor b=a-b=gcd(a,b)，也就是说gcd(a,b)=a-b。那么这样一来，题目就很简单了，我们可以类比线筛的方法，枚举一个a，b的gcd，然后再枚举一个a，算出b，判断一下是否有a xor b=c即可。

诡异的复杂度

1/n+2/n+……+n/n=nlogn，恕我学术不精，不会证。
代码：

const        maxn=1000000+5;var        sum,ans:array[0..maxn] of longint;        i,j,k,a,b,c,t,n:longint;begin        readln(t);        k:=1;        while t<>0 do        begin                dec(t);                readln(n);                if (sum[n]=0)and(k<=n) then                begin                        for c:=k to n do                        begin                                 a:=c*2;                                 while a<=maxn do                                 begin                                        b:=a-c;                                        if a xor b=c then                                                inc(ans[a]);                                        inc(a,c);                                 end;                        end;                        for i:=k to n do                        begin                                sum[i]:=sum[i-1]+ans[i];                        end;                        k:=n;                        writeln(sum[n]);                end                else                        writeln(sum[n]);        end;end.

the end

由于我的水平有限，难免会有些写错的地方，希望大家批评指正，多多包容，thank you for your patience.