三次样条插值

来源：互联网发布：买黄金软件下载编辑：程序博客网时间：2024/05/28 15:19

局部插值方法

　　指插值函数满足s(x)=∑ni=1li(x)f(xi)，其中li(xj)=δij，且li仅在xi某邻域内非零。例如分片线性、局部分片三次多项式插值。

　　给定插值点均匀分布，间隔为h。要求s为有界分片三次函数，且插值函数二次导数连续。则有s每个分片si

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ s j (x) = s j (x j + 1) = s'' j (x j + 1) = f (x j) + s' (x j) (x - x j) + c 2 j (x - x j) 2 + c 3 j (x - x j) 3 f (x j + 1) s'' j + 1 (x j + 1)

得

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ c 2 j = c 3 j = 3 f ( x j + 1 ) - f ( x j ) h 2 - 2 s ' ( x j ) - s ' ( x j + 1 ) h 2 f ( x j ) - f ( x j + 1 ) h 3 + s ' ( x j ) + s ' ( x j + 1 ) h 2

即

c 2 j + 1 = c 2 j + 3 c 3 j h ⟹ s' (x j - 1) + 4 s' (x j) + s' (x j + 1) = 3 h [f (x j + 1) - f (x j - 1)] .

　　代入s(x)=∑ni=1li(x)f(xi)，其中li(xj)=δij。则有

l' i (x j - 1) + 4 l' i (x j) + l' i (x j + 1) = 3 h [δ i, j + 1 - δ i, j - 1] .

　　由上式右端当j>i+1时为0，易得对j>i，l′i(xj)=α(−2+3√)j−i+β(−2−3√)j−i。li有界，故β=0。j<i同理。从而代入得

l' i (x j) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ - 3 h (- 2 + 3 \sqrt) j - i 0 3 h (- 2 + 3 \sqrt) j - i j < i j = i j > i

结合li(xj)=δij可解出li方程。

= = : = = max x \in [0, h] ∥ f ∥ \infty \leq 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \sum j \in N l j (x) f (x j) ∣ ∣ ∣ ∣ max x \in [0, h] \sum j \in N ∣ ∣ l j (x) ∣ ∣ max x \in [0, h] \sum j \in Z (- 1) j [l - j (x) + l j + 1 (x)] max x \in [0, h] p (x) 1 + 3 3 \sqrt 4 .

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