三次样条插值

第三章　插值法

3.7　三次样条插值

3.7.1　三次样条函数

　　分段低次插值的优点是具有收敛性与稳定性，缺点是光滑性较差，不能满足实际需要.例如高速飞机的机翼形线、船体放样形值线、精密机械加工等都要求有二阶光滑度，即二阶导数连续，通常三次样条(Spline)函数即可满足要求.

　　定义7.1　设上给出一组节点，若函数s(x)满足条件
　　(1) ；
　　(2) s(x)在每个小区间上是三次多项式.
则称s(x)是节点上的三次样条函数.
若s(x)在节点上还满足插值条件
　　(3) (3.7.1)
则称s(x)为上的三次样条插值函数.

　　例3.8　设
是以0，1，2为节点的三次样条函数，则,b,c应取何值?
　　解　因,故在处由及连续，可得
　　　　　　　　　
解得=-2,b=3,c=-1.此时s(x)是［0,2］上的三次样条函数.
　　由定义7.1可知s(x)在每个小区间上是三次多项式，它有四个待定系数，中共有n个小区间，故待定的系数为4n个，而由定义给出的条件，在这(n-1)个内点上应满足
　　　　　　　　　　　　(3.7.2)
它给出了3(n-1)个条件，此外由插值条件(5.7.1)给出了(n+1)个条件，共有(4n-2)个条件，求三次样条插值函数s(x)尚缺两个条件.为此要根据问题要求补充两种边界条件，它们分别是
　　问题Ⅰ　　　　　　(3.7.3)
　　问题Ⅱ　　　　　(3.7.4)
　　问题Ⅲ　当f(x)为周期函数，因，此时，且，.这时s(x)称为周期样条函数.
　　由此看到针对不同类型问题，补充相应边界条件后完全可以求得三次样条插值函数s(x).下面我们只就问题Ⅰ及问题Ⅱ介绍三弯矩方程及其解法.

 

3.7.2弯矩方程

　　设s(x)在节点上的二阶导数值，在上是三次多项式，故s″(x)在上是一次函数，可表示为
　　　　　　　　
对此式积分两次，并利用可确定积分常数，从而得到
　　　　　　(3.7.5)
这里是未知量，但它可利用条件(5.7.2)中得到关于的方程组，由(3.7.5)对s(x)求导得
　　　　　　(3.7.6)
由此可得
　　　　　　　　　　　　　(3.7.7)
当，类似(5.7.6)可得
　　　　　
于是
　　　　　　　　　　　　(3.7.8)
由，可得到
　　　　　　　　　　　　(3.7.9)
其中
　　　　　　　　　　　(3.7.10)
(3.7.9)是关于的(n-1)个方程，对问题Ⅰ，可由(3.7.3)补充两个方程，它们可由(3.7.7)当i=0时及(3.7.8)当i=n时得到，即
　　　　　　　　　　(3.7.11)
将(3.7.9)与(3.7.11)合并则得到关于的线性方程组，用矩阵形式表示为
　　　　　　　　　　(3.7.12)
这是关于的三对角方程组.
　　对于问题Ⅱ，可直接由条件(3.7.4)得到
　　　　　　　
将它代入(3.7.9)，并用矩阵形式表示为
　　　　　　　　　　　(3.7.13)
它是关于的三对角方程组，不论是(3.7.12)还是(3.7.13)，它们中每个方程只与三个相邻的相联系，而在力学上表示细梁在上的截面弯矩，故称(3.7.12)及(3.7.13)为三弯矩方程.方程(3.7.12)及(3.7.13)的系数矩阵都是严格对角占优矩阵，它们可用追赶法求解.得到后，代入(3.7.5)，则得到上的三次样条插值函数s(x).

 

　　例3.9　设f(x)为定义在［0，3］上的函数，插值节点为，且，，，.当时，试求三次样条插值函数s(x)，使其满足问题Ⅰ的边界条件(3.7.3).
　　解　根据三弯矩方程(3.7.12)，首先要求系数矩阵及右端项，由(3.7.10)及(3.7.11)可得
　　　　
于是由(3.7.12)得三弯矩方程为
　　　　　　　　　　(3.7.14)
解此方程时可先消去得
　　　　
解得，代入(5.7.14)得.将的值代入(3.7.5)可得三次样条函数
　　　
的图形见图5-5.

图3-5

3.7.3　三次样条插值收敛性

　　定理7.1　设为问题Ⅰ或问题Ⅱ的三次样条函数，则有估计式
　　　　　　　(3.7.15)
其中，，，.
　　定理证明见［3］.
　　定理表明当h→0(n→∞)时，分别一致收敛于.

讲解：

　　分段三次样条插值（简称Spline插值）是通过形值点的一条光滑曲线，从数学上表示就是由定义7.1所给出的三条件得到的，它在区间上是二阶连续的，在每个小区间上是三次多项式并通过给定点，若补充上相应的边界条件，问题或问题，就可求得，通过解三弯矩方程（3.7.12）或（3.7.13）就可得到（3.7.5）所表示的。求三次样条插值函数有现成软件，但对三次样条插值定义及其条件一定要掌握好。