51nod五级题小记

1028 大数乘法 V2(void)

1040 最大公约数之和（枚举因数，计算贡献度。欧拉函数）

题意：给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6。1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15。（n≤1e9）。

思路：考虑枚举因数i，那么它对答案的贡献就是i×∑nx=1[gcd(n,x)==i]等价于i×∑nx=1[gcd(n/i,x/i)==1，即i×eular(n/i)。

1020 逆序排列（dp）

题意：给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？（2≤n≤1000,0≤k≤20000)

思路：简单dp，因为dp状态容易定义：dp[i][j]：前i个数字，构成逆序对为j个的排列的种数。然后考虑第i+1个数字放在序列中的不同地方产生新的k个逆序对（0≤k≤i），就能得到转移方程dp[i+1][j]=∑k=ik=0dp[i][j−k]。此时复杂度不可接受。但是如果再写一项dp[i+1][j-1]即可通过错位相减得到。dp[i+1][j] = do[i + 1][j] + dp[i][j] - dp[i][j-i]。

1084 矩阵取数问题 V2（dp）

题意：一个M*N矩阵中有不同的正整数，经过这个格子，就能获得相应价值的奖励，先从左上走到右下，再从右下走到左上。第1遍时只能向下和向右走，第2遍时只能向上和向左走。两次如果经过同一个格子，则该格子的奖励只计算一次，求能够获得的最大价值。(2 <= M, N <= 200，1 <= A[i,j] <= 10000)

思路：其实等价于从左上角有两个人同时往右下走，易得dp[x1][y1][x2][y2]，第一个人在1号点，第二个人在2号点的最大价值，然后因为在矩阵上，可以发现x1+y1=x2+y2=len，优化掉一维空间，dp[x1][x2][len]。即可。

1201 整数划分 （dp）

题意：将N分为若干个不同整数的和，有多少种不同的划分方式，例如：n = 6，{6} {1,5} {2,4} {1,2,3}，共4种。(1≤N≤50000)。

思路：整数划分都是套路，第二维维护最大的数是多少。最大只有n√。
所以有dp[i][j]=∑jk=1dp[i−j][k]。
再写一个dp[i−1][j−1]=∑j−1k=1dp[i−j][k]
两者做差，得到dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j].复杂度O（nn√）

1052 最大M子段和 (void)

题意：N个整数组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，将这N个数划分为互不相交的M个子段，并且这M个子段的和是最大的。如果M >= N个数中正数的个数，那么输出所有正数的和。（2 <= N , M <= 5000，-10^9 <= a[i] <= 10^9)

思路

1383 整数分解为2的幂 （dp）

题意：任何正整数都能分解成2的幂，给定整数N，求N的此类划分方法的数量！由于方案数量较大，输出Mod 1000000007的结果。比如N = 7时，共有6种划分方法

思路：因为2的幂的特性，所以判断一下有无1即可。

if(i % 2 == 0) dp[i] += dp[i / 2];dp[i] += dp[i - 1];

1120 机器人走方格 V3(void)

题意：N * N的方格，从左上到右下画一条线。一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。并要求只能在这条线的上面或下面走，不能穿越这条线，有多少种不同的走法？(2≤N≤109)

1537 分解（矩阵快速幂）

题意： 问(1+2√)n 能否分解成 m−−√+m−1−−−−−√的形式 如果可以 输出 m%1e9+7 否则 输出no（n≤1018）

思路：手动推前几项，发现都满足结论，大胆猜想结论恒成立，数学归纳法易证。所以到此，用矩阵推一推即可。