默慈金数学习小记 && 51nod 1556 计算

参考博客：ACdreamers.

事实上默慈金数很偏门，据说早就渗入ACM竞赛中了（庆幸我才初中）。

默慈金数定义：

在一个圆上有n个不同的点，画出彼此互不相交弦的方案数（可以不画）即是第n个默慈金数。

递推公式：
M(1)=1,M(2)=2
M(n+1)=M(n)+∑n−1i=0M(i)∗M(n−1−i)
神奇地可得：
M(n+1)=(2n+3)M(n)+3nM(n−1)n+３
转一下：
M(n)=(2n+1)M(n−2)+(3n−3)M(n−2)n+2
便于记忆的形式：
M(n)=(2(n−1)+3)M(n−2)+(3(n−2)+3)M(n−2)n+2

证明我可不会，当然我也不想会，记住吧。

那么这个东西有什么用呢？

不知道为什么，第n项的默慈金数等于以下的东西：
在一个格子图中，从(0,0)出发，走n步，每次可以往右、右下或右上走，不能走到y=0以下的地方，走到(n,0)的方案数。

51nod 1556 计算.

这题和上面所讲的唯一不同的地方就是终点不一定是(n,0)。

这怎么办呢？

设f(n)表示n的答案。

假设现在走了n-1步，会停在0-n-1.

如果在(n-1,y)(y>0),则有三种走法，都是合法的。

如果在(n-1,0),则有两种走法，即向右上或向右，那么可以视作减去一个M(n-1).

所以f(n)=f(n−1)∗3−M(n−1)

Code:

#include<cstdio> #define ll long long#define fo(i, x, y) for(ll i = x; i <= y; i ++)using namespace std;const ll mo = 1e9 + 7;ll ksm(ll x, ll y) {    ll s = 1;    for(; y; y >>= 1, x = x * x % mo)        if(y & 1) s = s * x % mo;    return s;}ll n, M[1000005], f[1000005];int main() {    scanf("%lld", &n);    M[1] = 1; M[2] = 2;    f[1] = 1; f[2] = 2;    fo(i, 3, n)        M[i] = ((2 * i + 1) * M[i - 1] + (3 * i - 3) * M[i - 2]) % mo * ksm(i + 2, mo - 2) % mo,        f[i] = (f[i - 1] * 3 - M[i - 2] + mo) % mo;    printf("%lld", f[n]);}