曲面的渐近方向和共轭方向、主方向、曲率线网

渐近方向

如果曲面上的P点是双曲点，那么P的迪潘指标线就有一对渐近线，这俩渐近线的方向，就称为曲面在P点的渐近方向。这两个渐近方向满足方程：

L0du2+2M0dudv+N20dv2=0

其中，L0、M0、N0就是曲面在P点的第二类基本量。
曲面上P点的某个方向，如果kn=0，那么这个方向就是曲面在P点的渐近方向。
如果曲面上某曲线的每一个点的切方向都是渐近方向，称此曲线是曲面的渐近曲线，满足：

Ldu2+2Mdudv+N2dv2=0

共轭方向

如果P的两个方向{d=du:dvp=pu:pv恰好是P的迪潘指标线的共轭直径所在的方向，那么这两个方向就称为曲面的共轭方向。
曲面的共轭网：

Ldupu+M(dupv+dvpu)+Ndvpv=0

主方向

如果P的两个方向既正交有共轭，则这两个方向称为主方向：{正交：dr⋅pr=0共轭：dr⋅pn=0，消去方向p，得：

∣∣∣∣du2EL−dudvFMdv2GN∣∣∣∣=0

△=[(EN−GL)−2F(EM−FL)E]2+4(EG−F2)(EM−FL)2E2≥0

当且仅当EL=FM=GN的时候，取等号。当△>0，曲面上每一个点都有两个主方向，除了“脐点”（满足EL=FM=GN的点）。脐点的每一个方向都是主方向，非平点的脐点，称为圆点。球面上每一个点都是圆点。

方向d=du:dv是主方向⟺dn=−kn⋅dr

曲率线网

∣∣∣∣du2EL−dudvFMdv2GN∣∣∣∣=0确定了曲面上的两族曲率线，组成曲面的曲率线网。
曲面的曲纹坐标网是曲率线网⟺F=M=0