主曲率和主方向

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在微分几何中，在曲面给定点的两个主曲率（principal curvatures）衡量了在给定点一个曲面在这一点的不同方向怎样不同弯曲的程度。

在三维欧几里得空间中可微曲面的每一点p，可选取一个单位法向量。在 p 的一个法平面是包含该法向量以及与曲面相切的惟一一个方向的平面，在曲面上割出一条平面曲线。这条曲线在p 的不同法平面上一般有不同曲率。在p 的主曲率，记作 k₁ 与 k₂，是这些曲率的最大与最小值。

这里一条曲线的曲率由定义是密切圆半径的倒数。当曲线转向与平面给定法向量相同方向时，曲率取正值，否则取负值。当曲率取最大与最小值的两个法平面方向总是垂直的，这是欧拉在1760年的一个结论，称之为主方向。从现代的观点来看，这个定理来自谱定理因为它们可以作为对应于高斯映射微分的一个对称矩阵的本征向量。对主曲率和主方向的系统研究由达布使用达布标架完成。

两个主曲率的乘积 k₁k₂ 是高斯曲率K，而平均值 (k₁+k₂)/2 是平均曲率H。

如果在每一点至少有一个主曲率是零，则高斯曲率是零，这种曲面是可展曲面。对极小曲面，平均曲率在每一点是零。