逆元详解

数论逆元是指 a*x = 1 (mod m) x为最小的整数

第一种，费马小定理,要求m为素数

用快速幂求pow(a,m-2) (mod m)

int power(int a,int b){    int ans = 1;    a %= m;    while(b){        if(b&1)            ans = ans * a % m;        b >>= 1;        a = a * a % m;    }    return ans;}

第二种，用拓展gcd,要求a与m互质

ax + my = 1 (gcd(a,m) = 1),求解的x即为a关于m的逆元

int e_gcd(int a,int b,int& x,int& y){    if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;}    else{        int d = e_gcd(b, a % b, y, x);        y -= x * (a / b);        return d;    }}

第三种，m为奇质数（所以m=2不满足），O（n）求n个数的逆元

    inv[i] = (m-m/i)*inv[m%i]%m

证明：

设       t=m/i,k=m%i则       t*i+k=0                     (mod m)同除i     t+k*inv[i] = 0              (mod m)移项      inv[i]*k = m-t              (mod m) 同除k     inv[i] = (m-t)*inv[k]       (mod m)代入      inv[i] = (m-m/i)*inv[m%i]%m

递推代码

#include<cstdio>const int N = 200000 + 5;const int MOD = (int)1e9 + 7;int inv[N];int init(){    inv[1] = 1;    for(int i = 2; i < N; i ++){        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;    }}int main(){    init();}

递归代码

#include<cstdio>typedef long long LL;LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下     return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;}int main(){    LL a, p;    while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){        printf("%lld\n", inv(a%p, p));    }}