三种求乘法逆元方法详解

P3811 【模板】乘法逆元

题目背景

这是一道模板题

题目描述

给定n,p求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。

输入输出格式

输入格式：

 

一行n,p

 

输出格式：

 

n行,第i行表示i在模p意义下的逆元。

 

输入输出样例

输入样例#1：

10 13

输出样例#1：

179108112534

说明

1≤n≤3×10​6​​,n<p<20000528

输入保证 p 为质数。

 

我们有三种办法求逆元 

由欧拉定理可知 

当gcd(a,n)==1 时 我们有 A^φ(n-1)≡ 1(mod n) ;

所以 我们有 A*A^φ(n-2) ≡ 1(mod n) 

所以A^φ(n-2) 就是A关于mod n的逆元 

 

 1 /* 2     p为素数时 可用费马小定理  3     longlong*longlong 要慢一点 66分  4 */ 5 #include <cctype> 6 #include <cstdio> 7  8 typedef long long LL; 9 10 int n,p;11 12 inline LL quick_pow(LL a,int k) {13     LL ret=1;14     while(k) {15         if(k&1) ret=(ret*a)%p;16         k>>=1;17         a=(a*a)%p;18     }19     return ret;20 }21 22 int hh() {23     scanf("%d%d",&n,&p);24     printf("1\n");25     for(int i=2;i<=n;++i) {26         LL t=quick_pow(i,p-2);27         printf("%d\n",(t+p)%p);28     }29     return 0;30 }31 32 int sb=hh();33 int main(int argc,char**argv) {;}

费马小定理

 

还有我们可以用exgcd来求逆元 

我们知道 若ax≡1(mod p)  这我们可以写成 ax=py+1；

移项则有 ax-by=1  这明显就是扩展欧几里得

当 ax+by=gcd(a,b)  gcd(a,b) == gcd(b,a%b) 

我们得到 bx1+(a-a/b)y1=gcd(b,a%b);

则 ax+by=bx1+(a-(a/b)*b)y1 //这里 / 代表整除 

   ax+by=bx1+ay1-b*(a/b)y1 

   ax+by=ay1+b(x1-(a/b)*y1) 

我们得到 x=y1

　　　　 y=x1-(a/b)*y1;

x 即为我们所求的逆元 

由于 x 可能为负数 要(x+p)%p 

 

 1 /* 2     EXgcd 求逆元 3     比费马小定理要快一点 83分   4 */ 5 #include <cstdio> 6 #include <cctype> 7  8 int n,p; 9 10 inline int exgcd(int a,int b,int&x,int&y) {11     if(!b) {12         x=1;y=0;13         return a;14     }15     int p=exgcd(b,a%b,x,y);16     int t=x;17     x=y;18     y=t-(a/b)*y;19     return p;20 } 21 22 int hh() {23     scanf("%d%d",&n,&p);24     printf("1\n");25     int x,y; 26     for(int i=2;i<=n;++i) {27         exgcd(i,p,x,y);28         printf("%d\n",(x+p)%p);29     }30     return 0;31 }32 33 int sb=hh();34 int main(int argc,char**argv) {;}

EXgcd

 

 

但是对于 这个题来讲 复杂度还是不够 

我们还有线性求逆元的方法 

来看带余除法 式子 p=k*i+r 

我们可以写成 k*i+r≡0(mod p) 

式子两边同乘 i^-1*r^-1 (i^-1,r^-1皆为模p意义下的逆元) 

所以我们有 k*r^-1+i^-1≡0(mod p) 

i^-1≡-k*r^-1(mod p)

i^-1≡-(p/i)*(p%i)^-1(mod p)

这样我们就线性求得了逆元

 1 #include <cctype> 2 #include <cstdio> 3  4 typedef long long LL; 5 const int MAXN=3000010; 6  7 int n,p; 8  9 LL inv[MAXN];10 11 int hh() {12     scanf("%d%d",&n,&p);13     printf("1\n");14     inv[1]=1;15     for(int i=2;i<=n;++i) {16         inv[i]=(LL)(p-p/i)*inv[p%i]%p;17         printf("%d\n",inv[i]);18     }19     return 0;20 } 21 22 int sb=hh();23 int main(int argc,char**argv) {;}

线性求逆元